SÉANCE DU \Ç) OCTOBRE IQoS. 397 



Il est aisé de voir (\ue cela est impossible, car alors la fonction de x, 



?n 



f"'-'-^( v) j r"'.is{y) j 



serait identiquement nulle ; ce qui est impossible, car elle éprouve l'accrois- 

 sement •irùnif^^.i^i^x^, quand a? tourne autour du point h;^. Nom avons donc 

 N — ip — (m — i) périodes distinctes. 



» i. Parmi les N — ip — (m ~ i) périodes distinctes que nous venons 

 de trouver, il y en a 2/? qui sont les résidus de l'intégrale double relatifs à 

 la ligne à l'infini de la surface. Ces résidus correspondent à l'intégrale 



j '<y)'b'^ 



prise autour du point infini, en prenant pour oi{y)ip intégrales de l'équa- 

 tion E' qui ne sont pas des combinaisons linéaires des m — i polynômes 

 désignés plus haut par -,, -o, . . ., -„--,^ On peut établir que, si l'intégrale 

 double est arbitraire, ces ip résidus sont certainement distincts. 



» On conclut de là le théorème fondamental suivant : pour V intégrale 

 double générale de seconde espèce de la forme 



fj 



{ - ^ , J , ^1^ ^i^ ^ p poly no m e e n it- , J' e t :î ) , 



le nombre des périodes distinctes correspondant à des cycles à distance finie est 



"S — lip-(m— 1). 



égal à 



» 5. La comparaison entre le nombre des périodes des intégrales 

 doubles de seconde espèce et le nombre p„ des intégrales doubles distinctes 

 de la môme espèce va nous conduire à une relation fondamentale. 



» Revenons d'abord sur le problème traité dans ma Communication de 

 la dernière séance, à laquelle le lecteur est prié de se reporter : recon- 

 naître si une expression 



-jr (Q polynôme en a), y, :; s'annulant sur la courbe dout)le) 



est susceptible de se mettre sous la lorme -^ h ^— • Comme nous 1 avons 



1 û.c a y 



signalé, le nombre p (qu'il ne faut pas confondre avec p^) joue un rôle 



important dans ce problème. 



C. R., 1903, 2^ Semestre. (T. GXXXVII, N' 16.) 79 



