098 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» G. Occupons-nous d'abord du cas où p = i . On voit alors aisément que, 

 y; ayant la forme précédente, les périodes, que nous venons d'étudier, do 

 l'intégrale double 



(^^> // 



Q{x,y,z) d.x dy 



sont toutes nulles. 



» On peut joindre à ce théorème une réciproque : si toutes les périodes 

 de l'intégrale double (4 ) sont nulles, on aura 



et, dans cette réciproque, il n'est pas besoin, comme dans la proposition 

 directe, de supposer que p est égal à un. Indiquons la marche de la démons- 

 tration. 



» On cherche à déterminer les fonctions rationnelles dej^ 



^^M ff-2 ^2/;i Co C,„, 



de manière à pouvoir satisfaire à la relation précédente, en prenant 

 B = «, T, + . . + «o/,lo^ + c,.T, + . . . -+- c,J,„. 

 » Désignons d'une manière générale par 



12^ et T^ 

 les valeurs, analogues à il^, se rapportant aux intégrales 



/ I/; do- cL / J^. da: ; 

 les a et les c seront déterminées par les N relations 



^/(j)^'=«!.^;+---+«2/.^j''+f'a7+..-+c,«vr (^=1,2, ...,N). 



i. 



» Ces relations se réduisent k 2p -h m — 1 d'entre elles, si l'on suppose 

 que loutes les périodes sont nulles, et l'on établit que les a et c déter- 

 minées par ces équations du premier degré sont des fonctions rationnelles 

 dey. La détermination de A est alors immédiate, et par suite nous avons 

 le théorème suivant : 



» Pour que -> puisse se mettre sous la forme -^ + -.— , i7 suffit que toutes 

 J z -^ ôx ay '''' ^ 



