SÉANCE DU 19 OCTOBRE igoS. Sgq 



les périodes de V intégrale (4) soient nulles. Cette condition suffisante sera de 

 plus nécessaire, s'il s'agit d' une surface pour laquelle ^ \. 



M 7. Le théorème j3récé(ienL conduit à une proposition importante reki- 

 tive aux surfaces pour lesquelles p = i. On montrera d'abord que, en 

 écrivant que les N — 2/3 — (m — i) périodes de l'intég^rale double arbi- 

 traire du type toujours considéré 



ff 



dx dy 



sont nulles, on obtient N — 2/? — (w — i) relations distinctes. Pour établir 

 ce point, j'ai recours à une analyse dont le principe est le même que j^our 

 l'analyse du § 3. Ce point établi, on a alors le théorème suivant : 



M Soit une surjace fpour laquelle p = i . Le nombre p^ des intégrales doubles 

 distinctes de seconde espèce est donné par V égalité 



Po=^N — l\p — (m - 1). 



» On peut encore dire que p^ est égal au nombre des périodes de l'inté- 

 grale double générale de seconde espèce du type envisagé. 



» Il est bien remarquable que cet énoncé ait précisément la même forme 

 que dans la théorie des courbes algébriques, où le nombre des intégrales 

 abéliennes distinctes de seconde espèce est précisément égal au nombre 

 des périodes de l'intégrale générale de seconde espèce. Mais cette généra- 

 lisation n'est exacte que quand p = i. Il nous reste à examiner le cas où 

 p est supérieur h, un. 



•» 8. Le cas de p différent de un ne j)résenle pas des difficultés nouvelles, 

 si l'on se sert des résultats précédents et si l'on se reporte aux remarques 

 faites dans ma dernière Communication sur les expressions 



Q, Q, Qp-, 



71' 71' •■•' "7r' 



que nous avons fait correspondre à chacune des courbes C<, . . ., ('p ,. 

 » On est alors conduit à la formule 



t^o 



1 . 



c'est-à-dire que le nombre ^^^ est égal au nombre des périodes diminue de p 

 )) Dans la formule précédente, le nombre p^ est un invariant absolu, 



c'est-à-dire un invariant pour toute transformation birationnelle. Il n'en 



est pas de même du nombre p. 



» 9. Je terminerai par une dernière remarque. Nous avons dit plus 



