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ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE, — Sur les équations linéaires aux différences 

 finies. Note de M. Alf. (suldberg, préseatée par M. Emile Picard. 



« Je me permets d'indiquer, dans celte Note, pour les équations linéaires 

 aux différences finies, un théorème analogue au théorème sur les fonctions 

 symétriques des racines d'une équation algébrique. Le théorème corres- 

 pondantpour les équations différentielles linéaires est démontré, comme 

 on sait, dans un Mémoire fondamental de M. Appell. 



)) Soient 



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+ «,!'i^ 



-i- a\ 



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une équation linéaire aux différences finies, t^t j'J , j^^:', ..•,Xc ^^ ^y^' 

 tème fondamental d'intégrales; je vais démontrer le théorème suivant : 



» Toute fonction algébrique entière F dey\^\y''l\ . . •,y''"^ et des valeurs 

 successives de ces fonctions, qui se reproduit multipliée pat un facteur constant 

 différent de zéro quand on remplace y'*' , y'^', . . , y''"^ par les éléments d'un 

 autre système fondamental d'intégrales, est égale à une fonction algébrique 

 entière des coefficients de V équation linéaire et de leurs valeurs successives mul- 

 tipliées par une puissance de n[(^ — i )" ût'^!'_|J. 



)) La démonstration de ce théorème est absolument analogue à la dé- 

 monstration du théorème fondamental de M. Appell. 



)) La fonction supposée F doit, en particulier, se reproduire, à un fac- 

 teur constant près, quand on permute entre elles les fonctions j^^'^y'^'', ..., 

 y^\ Il résulte de là que cette fonction contient les valeurs successives 

 de r^', y^"\ . . .,y "' jusqu'au même ordre. Soit/.» cet ordt'e. 



» 1° Si l'oidre p îles plus hautes valeurs successives de J^' , jl'', • • •» 

 y''"\ qui figurent dans F est moindre que /î — i , la fonction F se réduit à une 

 constante. 



» 2*^ Si /; = A/ — I , la fonction F est, à un facteur près, indépendant 

 ^^ïx ■> y'x ■> • • •' ï'x' "^i'^® puissance du déterminant 



J.r Jx^ I 



J .*•■ J x+ 1 



J X J x^-\ 



J X+ll- 



c'est-à-dire une puissance de Gn[( — i)''«.,'l.|]. 



