6/lo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Nous n'avons qu'à reproduire presque textuellement le procédé de 

 M. Picard, en substituant à la notation <^mVed celle de valeur successive . 

 » Soit l'expression 



où les iij; sont des fonctions rationnelles quelconques de r. Cette fonction 

 satisfait à l'équation linéaire d'ordre m^ : 



on a d'ailleurs 



oii les a^., p^., >.^. sont rationnels en x. 



» A toute solution de l'équation (2) correspond un système de solu- 

 tions j'j\ . . ., y'-"''' de l'équation donnée (1); ce système pourra n'être pas 

 fondamental. Cela arrivera si le déterminant des yj, et de leurs valeurs 

 successives, jusqu'à l'ordre m —i, est nul; en écrivant ceci, on obtiendra 

 une certaine équation en V^. : 



(3) 9(-*', "V.^, V^.^, , . . . , V.^+/,) = o, 



k étant au plus égal à m'-—i. On aura donc un système fondamental 

 X!i- • • -/x" » ^^ ^'*^^ prend pour V^ une solution de l'équation (2) ne satis- 

 faisant pas à l'équation (3). 



» Ceci posé, supposons que l'équation aux différences finies d'ordre p 



(4) f(^, V,., v.,.^,, . . . , v^^^^,) = o, 



/ représentant un polynôme, irréductible, c'est-à-dire n'ayant aucune so- 

 lution commune avec une équation de même forme et d'ordre moindre, 

 ait une solution commune et, par suite, toutes ses solutions communes 

 avec l'équation (2). L'équation (4), supposée différente de l'équation (3), 

 n'aura avec celle-ci aucune solution commune, et, par suite, à chaque 

 solution de l'équation (4) correspond un système fondamental de solu- 

 tions pour l'équation ([). 



» Soit donc yj\ y^\ . . . , j^^!"' le système fondamental correspondant à 



