SÉANCE DU -jn OCTOBRE igo.^. 64 1 



une certaine solution V^ de l'équation (4), et z^, z[^\ . . ., z';"' le système 

 correspondant à la solution générale de la même équation ; on aura 



et les a seront des fonctions algébriques de p paramètres arbitraires. 

 L'ensemble de toutes ces substitutions est le groupe de transformations 

 linéaires relatif à l'équation (i); nous le désignerons par G. 



» On peut établir, à l'égard de ce groupe, la proposition suivante qui 

 rappelle le théorème fondamental de M. Picard dans la théorie des équa- 

 tions différentielles linéaires : 



» Toute fonction rationnelle de .r, yj\ j';', . . ., j^'"' el de leurs valeurs 

 successives^ s' exprimant rationnellement en Jonction de x, reste invariante 

 quand on effectue sur yj\ y^]\ ..., y'"'\ les substitutions de G. Toute fonction 

 rationnelle de x et d'un système fondamental y^!^\ y''^\ . . . , y'''"\ et de leurs 

 trieurs successives, qui reste invariable par les substitutions du groupe G, est 

 une fonction rationnelle de x. 



» Les théorèmes sur la réduction du groupe G par l'adjonction des 

 solutions d'équations auxiliaires sont analogues aux théorèmes bien con- 

 nus de M. Vessiot dans la théorie des équations différentielles linéaires : 



» Pour que l'équation linéaire (i) soit integrable par quadratures finies, il 

 aut et il suffit que le groupe G soil un groupe integrable. 



» Une équation linéaire d'ordre supérieur au premier nest pas en général 

 integrable par quadratures finies. 



» Ajoutons enfin que la théorie précédente s'étend, dans ses points 

 essentiels, à toutes les équations aux différences finies, qui possèdent des 

 systèmes fondamentaux de solutions. » 



ALGÈBRE. — Sur la résolution pratique des équations. Note de M. Rabut, 

 présentée par M. Haton de la Goupillière. 



« La méthode de Newton pour la résolution d'une équation quel- 

 conque f(x) = o s'applique d'ordinaire en calculant, au moyen de l'ap- 

 proximation initiale x^, les approximations successives a^o, a?3, cr,,, ., . par 



