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les formules 



00, -X, ^,^^^^y 



» Dans la pratique, le calcul namérique de f{xi) el f'i^xi) peut être 

 assez long et, en tous cas, n'est nullement simplifié par le fait d'avoir déjà 

 calculé /(a?i_, ) et f\xi_^ ). 



» J'ai reconnu qu'il est presque toujours plus expéditif de calculer du 

 premier coup la troisième approximation, et souvent même la quatrième, 

 au moyen de formules plus condensées, faciles à établir comme il suit. 



» Soient u, vu^, wu^ les trois corrections successives de a?<, de façon que 

 l'on ait 



Ou .y — — '■ 00 ^ ~r~ U 5 



x.^=^ X2+ vu- = a;, H- w + vii^, 



x^ =■ x.^ + wu^ = ^^ 4- w H- vir + wu^ . 



» Développons /(x^) par la série de Taylor en négligeant les termes 

 en u' ; l'équation donnée devient 



/(x,) -h (u + vu- + i^^u')f(x, ) + ^(/r + ini')f'\x, ) 4- '-^ f"\x,) = o. 

 » Négligeant successivement u-, u^, puis u\ nous obtenons les équations 



( I ) / + "/' =0' <^^'où 



(2) ^f-^Lf" =0, 



(3) ç,/'+,f' + y"'=:o, 



» Le calcul des deux quantités numériquesy"(j?,) ety"'(;r, ) est souvent 

 beaucoup plus simple que celui des quatre quantités/(^o),/'(^2\ f(^i)^ 

 /'(^g), de sorte qu'il est plus avantageux de franchir les degrés d'approxi- 

 mation de deux en deux, au moyen de la formule (2) ou même de trois en 

 trois, au moyen des formules (2) et (3). On peut choisir l'un ou l'autre parti 

 suivant le degré de rapidité qu'offrira le calcul de la dérivée tierce. Ces 

 formules sont faciles à retenir; on peut, d'ailleurs, les conserver par écrit. 



