SÉANCE DU 27 OCTOBRE igoS. 643 



» Elles reviennent à substituer à la courbe y =f(^x), non plus une 

 série de deux ou trois tang^entes successives, mais une parabole osculatrice 

 du deuxième ou du troisième ordre. On reconnaît assez facilement que, 

 sous la seule condition de partir d'une valeur de ^, suffisamment approchée 

 (ou, ce qui revient au même, de pousser assez loin les opérations succes- 

 sives), le second procédé procure une plus grande approximation, ce qui 

 augmente sa supériorité sur le premier. 



)) La méthode de Newton n'est enseignée, à ma connaissance, que pour 

 la résolution d'une équation unique; mais son principe s'étend aisément 

 au cas plus général d'un système d'équations à plusieurs inconnues, qu'il 

 est souvent impossible (ou seulement très long) de réduire à une seule 

 par l'élimination. Dans ce cas aussi, l'approximation peut souvent être 

 rendue plus raj)ide par l'emploi de formules de condensation analogues à 

 celles que je viens de donner. 



» Soient, en effet, 



f.,(a:,y) = o 



deux équations simultanées à résoudre numériquement, x^ ,y\ une première 

 approximation, de laquelle on désire passer directement à la troisième : 



» Posons 



oc .^ =^ JC ^ -T— Z — t— V Z , 



et appelons, comme d'ordinaire, p, q, r, s, t les dérivées partielles de 

 f{x,y^. Le système proposé peut s'écrire, en négligeant :^^ et u^ , 



/f(^i' Ji) + (' -H <'-')/^i -^ (" -^ wu-)q^ -h z'^r^ + zus^ -f- u-t^ = o, 

 /■ii^n jO -h (-:: -I- ^'^'')p-2 -+- {il H- wii-)q., -\- z'-r., -t- zus.^ + ii^t.^ = o. 



» Négligeant successivement z- et ir, puis z^ et u'\ on écrit les deux 

 systèmes d'équations du premier degré : 



\ /■2-+-P-2--+- q.u = o, 

 au moyen duquel on obtiendra d'abord :; et w ; puis 



, , i^ p^Z-^^ -{- q^U-^V -{- Z-r^-h ZUS^-\- II- t^^^ o, 



] p.^z^v -t- q.ai-w -h z'- r., -h zus.^ -f- u- 1.^ = o, 

 qui permet de calculer ensuite (^ et w. 



