694 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



courbe G s'exprime en fonction de 1 sans quadrature. On trouve, en effet 

 (en choisissant convenablement l'origine des prcs), 



0.1 -h s'in^il -h 2s) = o. 



» Ceci posé, soil C une courbe quelconque du plan des .xy. Désignons 

 par u la fonction de s, définie par l'équ^ilJQn 



u H- sin// = 2,3, 



et soit 9 l'angle i\e l'axe des x avec la direction de la tangente au point 

 M(X, Y). Portons sur cette tangente un vecteur 



mm = l = - —s, 

 2 



et soit P le point de l'espace qui a pour projection m et pour cote 



(4) z = t = ^J'(i^C0su)dr^. 



)) Le lieu des points P est la courbe à torsion constante La plus générale. 

 » Remarquons que X, Y, x, y, z- s'expriment en fonction de u à l'aide 

 de la formule (4) et des suivantes : 



d(è = - e'"? ( n- cos u ) (lu , = — - c'? si M // . 



» On en déduit une infinité de cas où l'on peut exprimer x, y, z sous 

 forme complètement explicite à l'aide des fonctiops élémentaires. Si, en 

 effet, 



© = tnu, 

 ou bien si 



X'AWSL- ^= f(v), (^ = tano-> 



f{v) désignant une fonction rationnelle de ç', toutes les intégrations peuvent 

 être effectuées. Dans le premier cas, les projections des courbes sur le plan 

 des xy sont des courbes algébriques, ûm est un nombre rationnel différent 

 de l'unité. 



)) Les formules (2) et (3) permettent aussi de déterminer les courbes 

 algébriques et imaginaires à torsion constante, courbes qui jouent, comme 

 on sait, un rôle important dans la théorie de la déformation du parabo- 



