SÉANCE DU 2 NOVEMBRE IpoS. 693 



loïde fie révolution. Mais je ne développerai pas ici cette remarque^ l'élude 

 de ces courbes ayant déjà été faite ( ')j » 



ANALYwSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination des classes singulières de 

 séries de Taylor. Note de M. Emile Borel, présentée par M. Appell. 



« 1. Nous dirons que deux séries entières en z- appartiennent à la même 

 classe lorsque les puissances de z dont les coefficients sont nuls sont les 

 mêmes dans les deux séries. Cette définition est un cas particulier de la 

 définition des classes de polynômes (-). Une classe de séries entières peut 

 être définie par une suite illimitée d'entiers positifs croissants : n^, n.,..., 

 iif..., qui sont les exposants des puissances de z dont les coefficients ne 

 sont pas nuls. 



» Nous dirons qu'une classe de séries est singulière lorsque ^ow/e^ les 

 séries de cette classe admettent leur cercle de convergence comme ligne sin- 

 gulière (ou, plus brièvement, sont singulières). Le but de cette Note est 

 d'indiquer un cas très étendu dans lequel on peut affirmer qu'une classe 

 est singulière ('). 



» 2. Nous donnerons le nom <\q sous -classe à l'ensemble des séries d'une 

 classe telles que les modules de leurs coefficients vérifient certaines inéga- 

 lités (les arguments restant arbitraires). La remarque suivante est fonda- 

 mentale : dans toute sous-classe, il y a une infinité de séries singulières. Cette 

 remarque se démontre comme la proposition connue : une série de Taylor 

 admet, en général, son cercle de convergence comme coupure. 



» Nous dirons qu'une sous-classe est impropre lorsque les inégalités qui 

 la définissent ont la conséquence suivante: toute sér\e de la sous-classe est la 

 somme d'une série appartenant à une classe moins étendue (ayant plus de 

 coefficients nuls) et d'une série ayant un ravon de convergence plus grand. 



» 3. Théorème L — Pour quune classe soit singulière, il suffit que cette 



(') G. Darbolx, Théorie générale des surfaces (Note IV). 



(*) Voir mon Mégnoire : Sur les séries de poly liâmes et de fractions rationhelles 

 {Acta inatheniatica. t. XXIV). 



(') Le résullat le plus éleudu obtenu jusqu'ici, à notre connaissance, est dû à 

 M. Fabry : une classe est singulière si la différence ni^^ — ni augmente indéfini- 

 ment avec i. Voir, pour l'historique de la question, et pour tous les renseignements 

 bibliographiques relatifs à notre Note, le remarquable livre de M. Hadamard : La 

 série de Taylor et son prolongement analyti'jue. 



