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classe renferme une sous-classe propre S ayant la propriété suivante : une série 

 arbitraire de cette sous-classe S étant donnée, il est possible, sans changer son 

 cercle de convergence, de la compléter de manière quelle n admette plus sur ce 

 cercle qu un nombre limité de points singuliers. Par définilion, compléter une 

 série, c'est la remplacer par une autre série dans laquelle les puissances delà 

 variable fifi^urant effectivement dans la série donnée ont les mêmes coefficients 

 que dans celte série donnée, les autres coefficients étant quelconques. 



» Soit o(-s) une série de la classe considérée; désignons par(|'(:;) une 

 série quelconque de la sous-classe S et posons : 



^{z) = i:a,b,z'^^. 



)) Si nous supposons que, les a^ étant fixes, les 6^- soient assujettis aux 

 inégalités qui définissent la sous-classe S, la fonction 6(z) appartient à 

 une autre sous-classe S'; il est donc possible de choisir les bi de manière 

 que la série 6(s) soit singulière et que le rayon de convergence de ô(^) soit 

 égal au produit (') des rayons de convergence de «p(^) et de '^{z). Les bi 

 étant ainsi choisis, il est possible, par hypothèse, de compléter la série '^{z) 

 de manière à obtenir une série '^{^) ayant le même cercle de conver- 

 gence que '^{z) et n'admettant sur ce cercle que des points singuliers 

 isolés. Il est manifeste que chaque coefficient de 6(:;) est égal au produit 

 des deux coefficients correspondants de (p(s)et de W{z)\ de plus, le rayon 

 de convergence de 0(z) est égal au produit des rayons de convergence de 

 ces deux séries; dans ces conditions, on conclut d'un théorème bien connu 

 de M. Hadamard que, si (p(^) n'était pas singulière, ^{^) ne le serait pas. 

 Le théorème I est donc démontré. 



» 4. Théorème 11. — Pour qu une classe définie par les entiers n^, n.^, ..., 

 ni, ... soit singulière, il suffit qu'en posant 



e(.) = n(,-i;), 



la fonction entière (-) 6 (s) soit telle que le maximum ^{j-^ de son module 



(^) C'est ici qu'intervient l'hypothèse que la sous-classe S est propre; la sous- 

 classe S' peut être impropre. 



(^) Au lieu de la fonction entière 6(x;), on pourrait introduire beaucoup d'autres 

 fonctions entières admettant les zéros n^, n^, . . . , rii, . . , , mais il semble que celle que 

 nous introduisons donne lieu à des applications plus simples. 



