SÉANCE DU 2 NOVEMBRE I9o3. 697 



pour \z\-= r croisse moins vite à l'infini que e''^, quelque petit que soit le nombre 

 positif z. 



» Soit, en effet, J/(5) une fonction de la classe consirlérée, définie par 

 la formule écrite plus liaul ; nous supposerons que <j/(5) a pour rayon de 

 convergence l'unité et appartient à la sous-classe définie par les inégalités 



» Dès lors, si nous posons 



nous pourrons affirmer que la série du second membre converge et que le 

 maximum M, (r) du module de ^1(5) croît moins vite que e*'", quel que soite; 

 donc la série 



W(z) = lx3{m)z"' 



n'admet (' ) sur le cercle de convergence que le point singulier + i ; cette 



série ^(^) n'est aulre que la série '^{z) complétée, avec conservation du 



rayon de convergence; la condition du théorème I est donc bien remplie. 



» 5. On verrait aisément que le théorème II entraîne la conséquence 



suivante (") : pour qu'une classe soit singulière, il sujjit que le rapport-^ 



augmente indéfiniment avec i. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la théorie des ensembles. 

 Note de M. Erxst LixDELi>F, présentée par M. Emile Picard. 



« 1. On doit à M. Borel un théorème très général, relatif aux ensembles 

 fermés, qui peut s'énoncer comme il suit (^) : 



« Théorème I. — Etant donné, dans un espace à n dimensions , C^j, 



(*) Ce résultat est dû à M. Leau {Journal de Mathématiques, 1899, p. 398). lia été 

 retrouvé par M. Georg Faber : Ueber Reihenentwickelungen analytisclier Func- 

 tionen- {Inaugural Dissertation, Munich, 20 avril 1902), travail qui renferme d'ail- 

 leurs d'aulres résultats nouveaux et inléressants. 



(^) Cet énoncé ne fait peut-être pas connaître le cas le plus étendu dans lequel une 



classe est singulière; il suffit peut-être que le rapport -4 prenne des valeurs dépassant 



tout nombre donné d'avance, ce qui n'exige pas que ce rapport augmente indéfini- 

 ment; mais c'est là un cas très singulier, au point de vue des applications. 



(^) Cf. É. Borel : Leçons sur la Théorie des fonctions, p. 42-48; une Note insérée 



C. R., 1903, 2' Semestre. (T. CXXXVII, N" 18.) 9^ 



