SÉANCE DU 2 NOVEMBRE igoS. 699 



si l'on peut entourer ce point d'une sphère qui ne renferme qu'un nombre 

 dénombrable de points P. 



» Cela posé, soit (P) un ensemble fermé et non dénombrable situé 

 dans l'espace C„; nous le partagerons en deux parties, (P) = (R) + (C), 

 où (R) comprend tous les points P au voisinage desquels l'ensemble (P) 

 est dénombrable, et (C) tous les autres points (P), qu'on pourrait appeler 

 les points de condensation de V ensemble donné. 



M Du lemme ci-dessus on conclut immédiatement que l'ensemble (R) 

 est dénombrable. D'autre part, d'après la définition même de l'en- 

 semble (C), toute sphère ayant pour centre un point C renfermera une 

 infinité non dénombrable de points P et, par suite aussi, une infinité non 

 dénombrable de points C, ce qui montre que l'ensemble (C) admet chacun 

 de ses points comme point-limite. On voit d'ailleurs immédiatement que 

 tout point-limite de (C) fait partie lui-même de cet ensemble. Donc (G) 

 est bien un ensemble parfait, et notre démonstration se trouve ainsi 

 achevée (*). 



M 3. De même, le théorème I conduit très facilement aux résultats de 

 M. Cantor relatifs à la mesure des ensembles (-). 



» Soient (P) un ensemble borné et fermé situé dans l'espace C^^, Sp une 

 sphère de rayon pp ayant pour centre le point P, et n(pp, P) la partie de C,, 

 remplie par l'ensemble des sphères Sp. Je dis qu'on aura 



(i) limp^,n(pp,P)=limj,^„n(p,P), 



pourvu que les rayons pp tendent vers zéro avec p, de telle sorte qu'on ait 

 constamment pp <C p pour tout point P. La valeur commune de ces deux 

 limites est ce que M. Cantor appelle la mesure de l'ensemble (P). 



« Pour démontrer l'égalité (i), imaginons d'abord qu'on réduise à leurs 

 moitiés les rayons de toutes les sphères Sp. D'après le théorème I, on pourra 

 choisir un nombre limité p. des sphères ainsi obtenues, de telle sorte que 

 tout point P soit intérieur à, au moins, l'une d'elles. Soit e le plus petit 

 parmi les rayons de ces p. sphères et désignons, d'autre part, par IIjj, la 

 partie de l'espace C,^ remplie par les sphères primitives Sp correspondant 

 à ces [X sphères. Tout point P sera intérieur au domaine IIjj. et aura une 

 dislance minimum supérieure à t de sa frontière. 



(^) Cette démonstration ainsi que celle du théorème II seront exposées en détail 

 dans le Tome XXIX des Acta mathematica. 



(^) Cf. p. 90-91 du travail de M. Schœnflies inséré dans Jahresbericht der deut- 

 schen Mathematiker- Verecnigung, t. VIII. 



