^3'J! ACADÉMIE DES SCIENCES. 



CORRESPONDANCE. 



GÉOMÉTRIE. — Sur la détermination des figures invariantes des transforma- 

 tions cycliques. Note de M. Rabut, présentée par M. Hatoa de la Gou- 

 pillière. 



« J'ai fait connaître (*) les équations générales des figures invariantes 

 de la transformation polaire réciproque, et le procédé qni m'y a conduit 

 s'étend aisément à toute transformation réciproque (ou dont la répétition 

 produit l'identité) sans autre restriction que la possibilité d'exprimer cette 

 transformation par des équations diriérentielles. 



» Je me propose ici d'élargir bien davantage cette méthode en traitant 

 le cas général d'une transformation cyclique, c'est-à-dire qui, opérée n fois 

 de suite, aboutit à l'identité. 



» Envisageons une telle transformation dans l'espace; elle se représente 

 par trois équations reliant un élément infinitésimal d'une figure (défini 

 par les coordonnées x, r, z et les dérivées x' , y', x" , y", ...,x"', y"" si cette 

 figure est une ligne, ou/?, q, r, s, /, . . . s'il s'agit d'une surface) avec l'élé- 

 ment transformé. Affectons ces quantités des indices i, 2, 3, . . ., /? dans la 

 fissure primitive et ses transformées successives, l'élément n H- i étant iden- 

 tique à l'élément i. Convenons d'autre part, pour abréger, d'écrire 

 F(i, 2, ..., n — I, n) pour une fonction des quantités ci-dessus, relatives 

 aux figures successives i , 1, . . ., (n — i), n, contenant, en outre, des para- 

 mètres auxiliaires dont l'emploi va être justifié. 



» Une transformation cyclique peut toujours être caractérisée par un 

 svstème d'équations tel que 



Fi(i, 2, ...,/? — r, «) = o, 

 F, (2, 3, ..., rt, i) =0, 



Fi(3, 4, .-., I, 'J^) =0, 



F,(n, I, ..., n — 2», n — r) = o, 



contenant chacune, outre les coordonnées et dérivées relatives à l'élé- 



(•) Comptes rendus, 17 juin 1901. 



