SÉANCE DU 9 NOVEMBRE T9o3. ^"^3 



ment i et à ses transformés, des paramètres auxiliaires en nombre/. En 

 effet, suivant la valeur du nombre n et celle de l'ordre m de ces équations 

 différentielles, on peut toujours choisir ^ et / de telle façon que l'élimination 

 des coordonnées et dérivées d'indice supérieur à 2, ainsi que des oara- 

 mètres auxiliaires, entre ces nk équations, en laisse subsister trois entre les 

 coordonnées et dérivées d'indices i et 2; ces trois équations résultantes 

 sont les équations difFérentielles de la transformation, 



» D'autre part, une figure de l'espace (ligne ou surface) admettant cette 

 transformation peut toujours être caractérisée en adjoignant à ces trois 

 équations un système de n/ équations (i) où les fonctions données F sont 

 remplacées par des fonctions $ contenant \ paramètres auxiliaires. On 

 peut, en effet, choisir x. et X de façon que l'élimination des coordonnées et 

 dérivées d'indices ^i, ainsi que des paramètres auxiliaires entre ces 

 ny -I- 3 équations, en laisse subsister deux ou une (savoir deux dans le cas 

 d'une ligne, une dans le cas d'une surface) entre les coordonnées et déri- 

 vées d'indice i. Ces deux équations résultantes, ou cette unique équation 

 résultante, représentent une ligne ou une surface invariante dans la trans- 

 lormation considérée; en choisissant <î> arbitrairement, on obtient toute 

 figure jouissant de cette propriété. 



» Il ne reste qu'à indiquer comment on détermine, dans chacun des 

 deux cas, les nombres k, l, y, 1. 



» Premier CAS. — Transformations de lignes. — Le nombre des coordon- 

 nées et dérivées d'indice >> 2 est {im + 3)(/^ — 2). Il faut donc que 



nk = ('2/n + 3) fn — 2) + / •+- 3, 

 d'oi^i 



k = ini -h j — ~ ' 5 



n 



/ayant la plus petite valeur qui rende k entier. 



Le nombre des coordonnées et dérivées d'indice >> i étant 



{im + 3) (/2 — i), 



la seconde condition à remplir est 



ny^^= (^im -h 3 i (/?. — i) -h X -h 2, 



