SÉANCE DU Ç) NOVEMBRE I903. 735 



continues et dans celui de Ch. Hermite, dont la méthode que je vais indi- 

 quer est, au fond, une application. 



» Soit a(j:-) une fonction qui, pour des valeurs assez grandes de [x|, 

 admet un développement 



(\ An n'i rC<> 



.r) = — -h -4 + ^ H-.... 



» Etant donné un nombre entier n aussi grand qu'on voudra, on pourra 

 toujours déterminer trois polynômes entiers en x, T\,, Q,,, R„, tels que 



Ci) a„=P,,+ Q,,a+-R,,ry.2 



soit une série de puissances décroissantes de iv, dont le premier terme est 

 x~("+*\ les degrés de P„, Q„, R„ étant respectivement 



m — I , m. m — i si /i = 2m, 



m — I , m, m, si n -= -i ni -\- \ . 



» Le nombre des coefficients que l'on doit annuler est 3/72 dans le pre- 

 mier cas, et 3m -+- i dans le second; or, les constantes dont on peut dis- 

 poser étant en nombre 3m 4- i dans le premier cas et 3m + 2 dans le 

 second, les polynômes P^, Q„, R„ sont en général déterminés, à un facteur 

 constant près. 



M Si l'on substitue, à la relation (i), l'équation approchée 



(o) R^^^,2+Q^^0,_|_p^^=:O, 



on en tire 



2R, ( -y Ql 



n La fonction 



étant du degré — i ou — 2 suiv^ant que n = 2m ou 2m -i- i, tend vers 

 zéro pour n = co; on peut donc développer la racine carrée en série de 

 puissances de x'^* et, puisque a est nul pour ;r — co, on doit prendre le 

 signe — du radical. 



» Si maintenant l'on compare l'expression approchée de x 



