SÉANCE DU i6 NOVEMBRE rgoS. 779 



aux deux conditions : 

 . . „/ dz dz d'z fPz (r-z\ 



(') ^ 1,^' ^' ^' 5:^' ;ï^' jt^-' àœày df-) = ^' 



o/i F est analytique, et 



elle est analytique. 



» Ce théorème remarquable a été démontré d'abord par M. Picard (') 

 dans le cas où F est linéaire (l'ordre de dérivabilité connu pouvait d'ail- 

 leurs s'abaisser à deux). Par une intuition profonde, M. Hilbert a prévu 

 qu'il suffisait de supposer F analytique. Sous son influence, M. Lulke- 

 meyer, dans sa Thèse soutenue en 1902, et M. Holmgren (^Math. Annalen, 

 1903) reprirent la méthode de M. Picard et établirent le théorème en 



question pour F = jj^ + ^ .-f^r,y, z, ^^^, ^^ = o (/ étant analy- 

 tique). En complétant convenablement la même méthode, je suis parvenu 

 à une démonstration générale. 



» Soit F(x) = V 'y^ Aj,f^xP(l\ ~ xy. Si ce développement converge 

 absolument et uniformément pour o^^^R, nous dirons qu'il est normal. 

 La série /{x) = V ^j'^/'^'^^C^ ~~ ^)^ ^^'''' "'^® série maximale de V(x), 



pz^O q =0 



si a^^q > I A^,^ |. On peut écrire aussi 



' F(.r) = 2 P,(R - x)" et f{x) - ^ />,(R - .r)^ 

 (/ = (7 = 



où P et /? sont des séries de Taylor ordonnées par rapport à l'origine. Soit 

 ^q^Pq{^ ~ ^y lorsque o ^oî^R. Nous dirons que 



M = M, + M, IJ^ -f- . . . + M,(^^)" + . . . 

 est une valeur maximale de F(j7) à l'intérieur du contour T^r,. formé par 



(') Journal de l'École Polytechnique, 1890, et Acta mathematica, t. XXV. Le 

 même théorème a été démontré par M. Picard pour certaines équatipns linaires d'ordre 

 supérieur au second {Comptes rendus, t. CXXl, iSgS). 



