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la partie gauche fie la circonférence C de ravon rayant le centre en O et 

 les deux tangentes menées du point R au centre C. L'ensemble des valeurs 

 maximales correspondant à tous les développements normaux sur OR 

 de ¥(x) a une limite inférieure que nous appellerons valeur minimaxi- 

 male de F(cc) à l'intérieur de To,,,. et que nous désignerons par [F('3^-)]u/ • 



» Soit F (.T/) = F(VcosO, /si II Cl) = V A„cos7zO -+- B^sin/zO. Nous dirons 

 que ce développement est normal, si A„ = 7" y ^ ^' !'!/'' ^(^' ~ r-f, 

 B„= r" y^ y D^''^^r-^( R- — r-Y sont normaux sur OR et si a„ et b,^ dési- 



p = (J = oc 



gnant des séries maximales de A„ et B„ la somme ^ ««+ ^« converge uni- 



rt = 



fermement sur OR. 



» On posera, en outre, [F(^T )]r,. = -( A„\î,.-4- (B„)f{,, qu'on appellera 

 valeur minimaximale de Y(xy) à l'intérieur du contour r^io • 



>) Lemme 1. — Une fonction analytique de deux variables réelles x et y 

 régulière à l'intérieur d'un cercle C de rayon R est développable en série 

 normale. 



» Lemme 2. — Soit F[©,(iCj'), (p^(cr/), . . ., 'p,„(a"v)] une fonction ana- 

 lytique de m variables dont chacune est une fonction de x, y susceptible d'un 

 développement normal sur OR. F sera aussi normal sur O^ et, en désignant 

 par fia série des modules de F, on aura 



î^[?.(^0?.(^>^v ••]!..=/! [?.(^01u.[?.(^x)]u,.---:. 



» Lemme 3. — Si une fonction Y(^xy) admet une valeur maximale finie 

 à r intérieur de Foru,, elle est analytique pour H réel et r situé à l'intérieur 

 de Fo^rv ' ^^ ^^ valeur sur Fojjn- est donnée par le développement normal corres- 

 pondant. 



» Ceci posé, en vertu de l'hypothèse ^Y^y__ Y\y. — /F'^_,,. \^^ o> H est 



àx- ôy \ ôx dyj 



possible d'effectuer un changement de variables linéaire et homogène à 

 coefficients réels qui ramène l'équation générale à la suivante 



, , . . d'- z d'z ff ô~- dz <)- z d-z à' z\ 



(1 his) ^ + ^. =/[^0'^ ^' ^' jy.' J^' J^/ ^.j' 



y étant analytique et telle qu'à l'origine, c'est-à-dire pour a? = y=o. 



