SÉANCE DU 23 NOVEMBRE ipoS. 889 



de son développement », par M. Ernst Mach; traduction française par 

 M. É. Bertrand. (Présenté par M. Emile Picard.) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations fonctionnelles et la théorie 

 des séries divergentes. Note de M. L. Fe.ier, présentée par M. Ém. 

 Picard. 



« La théorie des séries divergentes peut être utile dans la résolution de 

 quelques équations fonctionnelles classiques; c'est ce que nous nous propo- 

 sons de montrer, 



)j 1. Prenons l'équation 



( I ) ^j^(x^ \) -^ 'h{-'^) = •^^'• 



Il est bien naturel de partir de la série 



x'' — (x -h i)^ + (.r -\~ iy — . . . 



qui satisfait formellement à (i). Elle est divergente pour toutes valeurs 

 de x, mais sommable dans le sens de M. Borel, et la somme (un polynôme de 

 degré k) satisfait à l'équation (r). En effet, l'intégrale 



r- ^_ T ^ (-0%|+«^1 ^i_^ ^ ^» ^, r ^ (.■+j)'." 1 ^^ 

 L"— J '""*' L" = it J 



a un sens quel que soit x. Pour le montrer, remarquons que 



/. 



où les fonctions ')^^{z) (v = o, i , 2, . . .j se déterminent par la relation récur 

 rente 



(2) ).„(.)=«=, >,.,(.) = ='%i<î> (v=,, 2,3.. ..,:«), 



et, par suite, 



A.(r) = .7..(..), 



/?v(^) désignant un polynôme de degré v. La convergence est donc prouvée. 

 Si l'on pose 



(3) ^'"^f ^" '>-'(-) d'- (v = 0,1,2,3,...), 



