8/iO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



on obtient 



/, 



(A--V) 



V = 



)) On voit aussi facilement, a priori [c'est-à-dire sans employer la 

 forme (4)]» que ^a:(^) ^^t vraiment une solution de (i). Les nombres 

 rationnels Cv, analogues aux nombres de BernouUi, se déterminent aussi 

 d'utie autre façon. 



» Cherchons d'abord la fonction génératrice $(::, /) des fonctions \{z); 

 <ï> satisfait, par suite de (2), à l'équation 



^ ùz ~ Ti 



avec la condition intiale <ï>(^, 0)= e^. On trouve par intégration 



(I»(g,/) = ^--''. 

 Donc 



(5) /"--'■^'=-i7^ = i;'T'^- 



V =0 



Les premiers Cy ont pour valeur 



r _ ^ r _ ' r — ' r — '7 r — ^' r — ^^i 



<-.— -^' *^'3-8' ^>5--^' ^T-7ë' ^'«—--4-' '-M- -g-' •••' 



Co=-' Cav^O (v = T, 2, 3, . . .). 



Gomme il n'existe qu'un seul polynôme satisfaisant à (i), les 



J/A(a?) (^ = o, I, 2, .. .) 



coïncident nécessairement avec les polynômes définis par la fonction géné- 



ratrice -^ > dont certaines propriétés et applications intéressantes ont été 



données par Hermite (^Journal de Crelle, t. 116). 



» 2. Cherchons la solution de l'équation fonctionnelle 



(6) .A.x-4-.)-./(^-)=7^- 



En désignant par "«(;r) (^n= o, i , -^ , . . .) les polynômes de BernouUi, la série 



(7) 9o(i6-)— 0,(.X-)+ 0,(^7)— ... 



