SÉANCE DU 23 NOVEMBRE igoS. 8^1 



satisfait formellement à (6). Elle est divergente pour toute valeur de ^ 

 (excepté ^ = o). Mais l'intégrale de M. Le Roy {Annales de Toulouse, 

 1 900) qui correspond à ta série ( 7 ) 



est une fonction entière de ,r, et la limite limG(^, t) existe pour toute valeur 



de X, excepté les valeurs réelles né gatives plus petites que — t . 



» On voit facilement a priori que cette limite f {x) satisfait à (6). 



Mais ^'^'""'^'^ est aussi une solution de (6). Donc f{x) - ^^"^ \ doit 

 r(d7 + i) ' 1 i^a -t- 1; 



être une fonction ayant pour période un. Mais elle est précisément con- 

 stante. On a donc, au point de vue des séries divergentes, 



c= lim( / y^ l<^nO- 



» Remarquons que l'on peut résoudre de la même manière l'équation 



f{x - 1) —/(x) = ^a^x\ 



n=0 



dans certains cas intéressants, considérés par M. Le Roy dans le Mémoire 

 cité, par exemple si a„ a la forme 



an= (û(x)x''dx. 



On pourra aussi comparer à la belle solution de M. Hiu'witz (Acta mathe- 

 matica, t. XX). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un système de trois fonctions de variables 

 réelles. Note de M. D. Pompeiu. 



« Considérons une fonction analytique 



f{z) =p(x,y) + iq(x, y) (z ■=^ x H- iy), 



et développons, autour d'un point régulier -«^^o+d'o» chacune des 



