q02 ACADEMIE DES SCIENCES. 



)» Prenons, pour lignes coordonnées sur S et S', les lignes asymptotiques; 

 dans ces conditions : 



(4) A„-^mB„— /„(m), , A„ — mB„, = ^„(^') (n = T,2,3), 



et l'on peut supposer les variables u ei v choisies de manière que 



dj\+ df\ + df\r=. du\ dg\^dg\ + dg^^ = ch\ 



Supposons maintenant qu'il s'agisse de déterminer la surface W passant 

 par une courbe donnée C et admettant en chaque point M de cette courbe 

 une normale donnée. 



1) Remarquons d'abord qu'au point M, on peut déterminer, en général, 

 les valeurs de R et R, et, par suite, les points de contact m et m, de la nor- 

 male avec les deux nappes de la développée. Il suffit pour cela d'utiliser 

 la relation donnée entre R et R, et une relation de la forme 



aRR, ^ è(R 4- R.) -H <? = o, 



obtenue en exprimant que les plans tangents en m et mt, k la surface 

 réglée des normales, sont rectangulaires. Ces deux plans tangents et le 

 plan tangent à la surface W au point M déterminent complètement le 

 trièdre lié au point M de la surface W. On peut donc, en chaque point M 

 de la courbe C, calculer («„, b^, c^) en fonction de la variable t, qui fixe la 

 position du point M. Il résulte de là qu'on pourra aussi calculer A, , A2, A3 , 

 B,, Ba, B3 en fonction de t, à l'aide des formules (2), qui sont fondamen- 

 tales dans la théorie actuelle. 



» Les formules (5) font alors connaître par quadratures les expressions 

 de w et ç^ en fonction de ï, 



et, par suite, aussi les expressions de/<, f.2,f3 en fonction de u et celles de 

 gi, gi, gs en fonction de i'. Le problème proposé peut donc être consi- 

 déré comme résolu. 



)) L'indétermination du problème correspond au cas où les expressions 

 de/^,/2,/3 ou de ^, , g^, g^ en fonction de t se réduisent à des constantes. 



(*) Les expressions dx, dx^, ... en fonction de /„, g^ sont connues et ont été don- 

 nées par M. Darboux {Théorie générale des surfaces, t. IV). 



