SÉANCE DU 3o NOVEMBRE IQoS. goS 



Les lieux des points in, m, sur les surfaces S et S, sont des lignes asympto- 

 tiques : ceci est bien d'accord avec la théorie générale de la déformation. 

 » Dans une étude développée, j'examinerai le cas particulièrement 

 intéressant oii m est égal à i. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation effective de certaines 

 fonctions discontinues, comme limites de fonctions continues. Note de 

 M. Emile Borel, présentée par M. Appell. 



« On doit à M. Baire un résultat de la pins haute importance, qui peut 

 s'énoncer ainsi : la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction 

 discontinue soit la limite de fonctions continues est quelle soit ponctuellement 

 discontinue sur tout ensemble parfait ('). 



» En un certain sens, cette proposition épuise complètement la question 

 de la représentation des fonctions discontinues comme limites de fonctions 

 continues. Cependant, si l'on observe que, non seulement les démonstra- 

 tions de M. Baire, mais encore l'obtention effective de la représentation 

 nécessitent l'introduction des nombres transfinis, on peut penser qu'à 

 côté de la proposition générale de M. Baire, qui dominera toujours la 

 question, il y aurait intérêt à connaître d'autres propositions plus particu- 

 lières, mais plus aisées à démontrer dans l'enseignement et à appliquer 

 effectivement. Je me propose ici d'obtenir, sans utiliser les nombres trans- 

 finis, la représentation comme limite de fonctions continues d'une fonction 

 discontinue telle que l'ensemble P de ses points de discontinuité soit 

 réductible (c'est-à-dire tel que son dérivé P' soit dénombrable). Quand on 

 emploie le langage créé par M. G. Cantor, on doit dire que, étant donné un 

 ensemble réductible P, il existe un nombre a. de la première ou de la se- 

 conde classe tel que l'on ait P'°'^=o; d'ailleurs à tout nombre a corres- 

 pondent une infinité d'ensembles réductibles P tels que P^^^ ne soit pas nul, 

 lorsque ^ est inférieur à oc. Lorsque l'on se place à ce point de vue, on est 

 amené à considérer l'introduction des nombres transfinis comme nécessitée 

 par la nature même de la question et à faire dépendre de la valeur du 

 nombre a la marche suivie pour la résoudre. Je me propose de montrer, 



(*) Voir Baire, Thèse : Sur Les fonctions de variables réelles {Annali di Mate^ 

 matica, 1899) Qt Nouvelle démonstration d'un théorème sur tes fonctions discon'- 

 tinues {Bulletin de la Société mathématique de France, 1900). 



