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au contraire, que la solution peut être basée simplement sur la notion d'en- 

 semble dénombrable, et, par suite, être complètement indépendante de la 

 valeur de oc, qui n'intervient ni directement, ni indirectement. Pour 

 abréger, je raisonnerai sur les fonctions d'une seule variable; il n'y a 

 presque rien à changer pour traiter le cas de n variables. 



» Considérons une fonction f(cc), défmie dans un intervalle fmi a, b; 

 soit P l'ensemble de ses points de discontinuité; on suppose que P' est 

 dénombrable; il en résulte que P + P' est aussi dénombrable; désignons 

 les points de P -h P' par ûT,, «2» •••» a«, .... Désignons, d'autre part par A„ 

 l'ensemble des points de l'intervalle a, b définis par la condition suivante : 

 le point X appartient à A„, si, quel que soit /?, le segment a^cr^ a une lon- 

 gueur supérieure à -• Il résulte du fait que P' est un ensemble fermé que 



tout point déterminé oo de ab, distinct de a^, a^, ..., a^, ..., appartient à 

 A„ dès que n dépasse une certaine valeur. Ceci posé, il est très aisé de 

 former une fonction continue f„ prenant les mêmes valeurs que / aux n 

 points «,, «o, ..., «„, ainsi qu'en tous les points de A/^; il suffit de remar- 

 quer que A„ se compose d'un nombre limité d'intervalles dans chacun des- 

 quels/est continue et que les points a,, «2» •••' ^n» ^" nombre limité, sont 

 extérieurs à ces intervalles. Il est clair que lorsque n augmente indéfini- 

 ment la fonction y„ a pour limite/, quel que soit oo à l'intérieur de ab; le 

 problème proposé est donc résolu. 



» On peut rapprocher ce résultat de celui qu'a obtenu récemment 

 M. Ernst Lindelôf (Comptes rendus, i novembre 1908 ). Dans cette inté- 

 ressante Note, M. Lindelôf démontre, sans V intervention des nombres trans- 

 finis, le théorème dit de Cantor-Bendixson ('). Ces exemples permettent 

 d'espérer qu'il pourra être possible d'arriver à éviter l'introduction de ces 

 nombres dans bien des questions où cette introduction a jusqu'ici paru 

 nécessaire; il semble, en effet, qu'à s'en passer on gagne toujours en sim- 

 plicité et en clarté. Cette remarque ne diminue d'ailleurs en rien l'intérêt 



(^) Dans ses Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 

 qui paraîtront prochainement, M. Lebesgue donne de ce théorème une démonstration 

 qui est au fond très analogue à celle de M. Lindelôf. Mais M. Lebesgue emploie le 

 langage des nombres transfînis, de sorte que l'on aperçoit moins nettement que la 

 théorie de ces nombres n'intervient pas. M. Lindelôf et M. Lebesgue sont arrivés à 

 leurs démonstrations indépendamment l'un de l'autre; chacun d'eux m'a communiqué 

 la sienne avant d'avoir connaissance de l'autre. 



