SÉANCE DU 3o NOVEMBRE igo^. gOD 



philosophique ni l'importance réelle des profondes conceptions de 

 M. George Cantor, dont l'influence sur l'évolution des mathématiques 

 dans le dernier quart du xix" siècle a été, comme l'on sait, des plus consi- 

 dérables; cette influence subsistera tant qu'il y aura des analystes, même si 

 certaines formes particulières données par M. George Cantor à sa pensée 

 ne conservaient un jour qu'un intérêt historique. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d'équations fonctionnelles. 

 Note de M. S. Lattes, présentée par M. Painlevé. 



« 1 . La substitution 



(,) X =/(«;, y,/), Y = <p(x,j,y) (/=g) 



fait correspondre à toute fonction y = '\i(x) une fonction Y de X, qui sera 

 dite la conséquente de '^(x). Réciproquement, à une courbe Y=i{/(X) 

 passant par un point P correspond une antécédente passant par le même 

 point : c'est l'intégrale de l'équation différentielle 



qui passe par P. 



» Sites antécédentes successives '^^{■x^), ^2(^)» ••-» ^n('^) d'une fonc- 

 tion 4*0 (^) ont une limite '^^{oc) pourn infini, si cette limite a une dérivée '^' {^oc^ 

 et si ^n{^)* ^'n(.^) tendent uniformément vers leurs limites dans un certain 

 domaine, cette limite vérifie l'équation fonctionnelle 



(2) ^\f[a;, ^x), f (^)]| = 9[^, K^). f (^)]. 



w La limite des conséquentes, lorsqu'elle existe, vérifie la même équa- 

 tion; mais à une courbe définie dans un certain domaine correspond une 

 conséquente située dans un domaine distinct du premier; nous nous limi- 

 terons à l'étude des antécédentes, qui peuvent, au contraire, être définies 

 dans un domaine commun. 



» 2. SoilXo,Yo,yl un élément double de la substitution, c'est-à-dire un 

 élément vérifiant les équations 



M On peut toujours supposer ^p=j„=7^=o et ramener la substi- 



