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tution (i) à la forme 



X = acc-h by-hcy-\- F(.r, j, y), 



(3) 



[Y = Ax-hBy -{-Cy-h^{œ,y,y), 



F et $ étant des fonctions qui auront des dérivées partielles du premier 

 ordre continues dans le domaine de l'origine et tendant vers o avec x-,y, j'. 



» Les antécédentes successives sont définies dans le voisinage de l'ori- 

 gine et tangentes à Ox en O. Il faut chercher à quelles conditions il existe 

 un intervalle de convergence commun à toutes les antécédentes et à quelles 

 conditions ^«(^p) et y,X^) tendent uniformément vers des limites dans cet 

 intervalle. 



» A ce sujet, j'ai établi la proposition suivante : 



» Sous les conditions C ^ o et \ ^ <C ^ 5 ^^ existe un domaine — A, 



+ h dans lequel toutes les antécédentes sont définies, et dans ce domaine ^^i^x), 

 ^'^^(^x^ tendent uniformément iiers des limites. La fonction initiale ^{x^ est 

 une fonction nulle pour x =■ o, ainsi que sa dérivée et vérifiant dans le domaine 



— h, -h h l'inégalité ^{^' (a?) -\- '-y:^ x \ <^ d\ x \, d étant un certain nombre posi- 

 tif fixe qui ne dépend que de la substitution. La limite est indépendante de la 

 fonction initiale. 



)) Pour démontrer ce théorème, je résous la deuxième équation (2) par 

 rapport à y' : 



y = \{x,y. Y) = - ^^ ~ ^ j -4- ^ Y +. . . . 



» L'antécédente de ^{x^ est définie par l'équation différentielle 



y^'k\x,y,^[f{x,y,y)\\, 



» Intégrons cette équation par approximations successives en rempla- 

 çant le second membre y par une fonction y^, vérifiant l'inégalité 



A 



<d\x\. 



Le premier membre donne j'a P^ï" quadratures. On démontre que j^o, 73, .. . 

 vérifient la même inégalité dans un domaine suffisamment restreint, que 

 les approximations convergent et que la limite de j„, c'est-à-dire l'antécé- 

 dente de 4", vérifie encore la même inégalité. 



