SÉANCE DU 3o NOVEMBRE IQoS. 907 



» C'est dans cette démonstration qu'intervient l'hypothèse 



aC — cA 



C 



<i 



Le domaine ~ h, 4- A dans lequel l'antécédente remplit ces conditions ne 

 dépend que des données, c'est-à-dire de la substitution (i). On se retrouve 

 alors dans les mêmes conditions qu'au début pour passer de la première 

 antécédente à la deuxième et l'existence d'un domaine de convergence 

 commun à toutes les antécédentes est établie. 



» Pour démontrer que la suite des antécédentes a une limite, je dé- 

 montre que si l'on ?^\<^^ — ^^_\<^a, on en déduit 



I ^2 — 'l'a l< K«tA, 



R étant une constante positive ne dépendant que de h et des données. On 

 déduit de là 



» En se servant de la forme explicite de K, on constate que RA est infé- 

 rieur à I si A est suffisamment petit, ce qui démontre la convergence uni- 

 forme de la série l{^n — ^«+i )• On démontre de même que la série 



est uniformément convergente. 



» 3. En un élément double a?„, Vo, y'^, la valeur de —^ est 



\Mj1 — __ : cela résulte du changement de variables. 



» Dans le cas d'une transformation de contact, on a 



» La condition \ 'Z" |<i est donc vérifiée par tous les éléments 



I ^ I 



doubles, éléments dont les points constituent, en général, une courbe C. 

 Par tout point P de la courbe C passe donc une solution C de (2) qui peut 

 s'obtenir comme limite d'antécédents; mais on constate que celte courbe C 

 a pour conséquente le point P (et les éléments de droite passant par P); ce 

 point P étant sur la courbe C, celle-ci est bien une solution de l'équa- 

 tion (2), bien que ce ne soit pas, à proprement parler, une courbe inva- 

 riante par la substitution (i). On voit aisément que la courbe C peut 



