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» Cette proposition est la suivante : 



» Si une équation 



¥(z) -^- ï<I'(s) = o 



a loules ses racines situées d'un même côté de Vaxe des abscisses, l'équation 



pY{z) + q^y{z) = o, 



dans laquelle p et q sont des nomhres réels arbitraires, a toutes ses racines 

 réelles. 



» Je me propose de généraliser cette proposition et de démontrer que : 



» Lorsqu'une équation de degré /? 



F(::) + î<l>(s) = o 



a toutes ses racines imaginaires, dont /i(k^n — k) situées d'un môme coté 

 de l'axe des abscisses, l'équation 



p¥(z) + q^V(z.) = o 



a au moins n — o.Tx racines réelles. 



» Et, réciproquement, si cette dernière équation a n — ik racines 

 réelles, l'équalion proposée dont, par hypothèse, toutes les racines sont 

 imaginaires, en a au moins k d'un môme côté de l'axe des abscisses. 



» La démonstration est très simple. 



)) Posons 



» Parmi les [i^, tous ^^ o par hypothèse, k ont un signe déterminé, et 

 n — ^ le signe contraire. 



)) Faisons parcourir à la variable ^ l'axe des abscisses, de[)uis —ce 

 jusqu'à H- ce, et étudions l'argument du produit 



H 



» Cet argument varie d'une manière continue, 



» Pour :? = — ce, chacun des n facteurs a, à la limite, un argument égal 



à zéro, de sorte que l'argument des produits est également nul à la limite. 



» Lorsque z varie de — ■yz l\ + ce, l'argument de chaque facteur aug- 



