SÉANCE DU 7 DÉCEMBRE IQoS. 969 



mente ou diminue d'une manière continue de o à ±n, selon que l'affixede 

 la racine considérée est au-dessus ou au-dessous de l'axe des x. 



» Pour ^ = -^ co, l'argument de chaque facteur est égal à ± H, de sorte 

 que l'argument du produit est égal à ± (/z — a/;)!!. 



» Il est donc évident que le vecteur représentant ce produit a décrit, à 

 partir de l'axe positif des abscisses, soit dans le sens direct, soit dans le sens 

 rétrograde, un angle égal à (n — 2.k)Jl. 



» On ne considère ici que l'arc décrit au total; mais il est clair que le 

 vecteur a pu, en revenant sur ses pas, parcourir certains arcs dans les deux 

 sens opposés, sans que ce parcours influe sur l'arc total décrit. 



» Si donc l'on pose 



F(::)+^*(^) = Ph-ïQ, 



P s'annulera toutes les fois que le vecteur se confondra avec l'axe vertical 

 des coordonnées, c'est-à-dire au moins (n — ik) fois, plus un nombre pair 

 de fois si le vecteur a recommencé, en les doublant, certains arcs compre- 

 nant cet axe vertical. 



» De même, Q s'annulera toutes les fois que le vecteur se confondra 

 avec Taxe des abscisses, c'est-à-dire au moins {n — ik — i) fois, carie 

 départ et l'arrivée pour :; = ± co ne doivent pas être comptés. 



» D'une manière générale, si l'on considère l'angle a dont la tangente 



trigonométrique est égale à — -(/> et ^ réels), l'expression 



pV + qQ 



s'annulera toutes les fois que le vecteur se confondra avec la droite qui 

 correspond avec l'angle a, c'est-à-dire au moins {n — !ik) fois. 



» Cette proposition ainsi généralisée semble avoir une grande impor- 

 tance dans la théorie des équations. 



» On sait, en effet, que, par une transformation de la forme 



on peut faire correspondre à l'axe des abscisses une circonférence décrite 

 sur Py et capable d'un angle donné. On saura alors, par la simple applica- 

 tion du théorème de Sturm, qu'il y a, à l'intérieur de celte circonférence, 

 au moins k racines; c'est là un résultat qui parait avou^ longuement préoc- 

 cupé Laguerre dans ses recherches sur la théorie des équations. » 



C. R., 1903, 2» Semestre, (T. CXXXVII, N« 23.) I27 



