SÉANCE DU l4 DÉCEMBRE I()()3. IO29 



c'est le conoïde caractéristique ayant pour sommet un point quelconque O; 

 elle a ce point comme point conique. Alors p ne peut plus être quelconque : 

 on doit avoir 



n — 2 



/?, étant un entier positif. La solution U (M, O) correspondant h p,z= o est, 

 d'ailleurs, seule intéressanle, les autres s'en déduisant d'une manière évi- 

 dente par différenliation. 



M Dès lors, pour n pair, il résulte immédiatement de ce qui précède 

 quil n'existe, en général, aucune solution de la forme i\). On devra donc, 

 pour atteindre le but, faire appel aux logarithmes (comme dans le cas du 

 plan), ou à des singularités plus compliquées. 



» Au contraire, pour n impair, la solution existe avec toutes les pro- 

 priétés requises. 



» III. Ce qui précède n'est, en somme, que la généralisation de résul- 

 tais connus. Il y a lieu d'insister un peu plus sur l'application de la fonc- 

 tion U pour le type hyperbolique. 



» Les auteurs qui, à la suite de Kirchhoff, ont traité des cas plus ou 

 moins étendus d'équations de ce type, tels que MM. Volterra, Tedone, 

 Coulon, d'Adhémar, ne sont point partis de la fonction U, mais d'intégrales 

 de forme sensiblement diUérentc. Ces dernières ne sont pas seulement 

 singulières en un point de l'espace à ^dimensions, mais le long de toute 

 une ligne, à savoir une certaine parallèle à l'axe des t. Or une telle ligne, 

 quoique jouant un rôle parliculier dans les applications physiques, est 

 dépourvue de loule liaison analytique avec l'équation. 



» L'introduction de la solution correspondante est donc certainement 

 artificielle. Il n'y a qu'une intégrale dont la considération doit « /?rw/'ï s'im- 

 poser : c'est (pour n impair) l'intégrale U(M, O) définie tout à l'heure. 



» Nous allons voir qu'il en est bien ainsi dans le cas de trois variables. 

 L'intégrale U étant définie pour une équation analytique quelconque, la 

 méthode que nous allons exposer fournira la solution du problème de 

 Cauchy pour toute équation de celte espèce. 



)) Pour déduire de l'intégrale U(M,0) des ftnmules toutes semblables 

 à celles de M. Volterra, il suffit de s'en servir pour former la nouvelle 

 intégrale 



tj(M)^- / U(M,0)cp(^)^^ 



C. K., 1903, 2' Semestre. (T. CXXWII, i\° 24.) ï^^ 



