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OÙ la quadrature est étendue à un arc d'une ligne L décrite par le point O, 

 les coordonnées de ce point étant fonctions de /. 



» La quantité ID est imaginaire au nnoins pour certaines positions du 

 point M. Il est aisé de voir, comme pour l'intégrale de l'équation d'Euler, 

 ou celles proposées par M. Levi-Civita pour l'équation des ondes cylin- 

 driques, que la partie réelle t), de lo, obtenue en limitant l'arc d'intégra- 

 tion au point où le conoïde caractéristique de sotnmet M ])erce la ligne L, 

 satisfait encore à l'équation différentielle. 



» Pour l'équation des ondes cylindriques, en prenant pour L une paral- 

 lèle à l'axe des t, avec (p(/) = T, on retrouve l'intégrale de M. Volterra. 

 Mais on peut dans tous les cas répéter son raisonnement sans modification 

 en partant de la fonction tD,. On obtient ainsi une formule où n'intervient 

 plus queU. Cette formule est, il est vrai, d'une nature assez exception- 

 nelle : elle contient deux intégrales, l'une double étendue à une certaine 

 aire, l'autre curviligne étendue au contour de cette aire et dont chacune, 

 prise à part, est dépourvue de sens, leur somme seule pouvant être définie. 

 On peut d'ailleurs toujours la transformer en une somme d'intégrales de 

 forme usuelle, en admettant que les données aux limites soient dérivables 

 et faisant intervenir leurs dérivées. 



y> Ici, encore, l'influence du nombre des variables apparaît comme consi- 

 dérable. On sait, en effet, que l'équation des ondes sphériques possède la 

 propriété d'Huygens, c'est-à-dire que son intégrale résiduelle est nulle, 

 mais qu'il n'en est pas de même pour l'équation des ondes cylindriques. 

 Or les formules obtenues montrent que, à ce point de vue, toutes les équa- 

 tions à trois variables se comportent comme V équation des ondes cylindriques . 



)) Il en serait d'ailleurs de même pour toute valeur de n pour laquelle 

 on pourrait appliquer une méthode analogue à la précédente. Il faut donc 

 s'attendre à voir subir à celle-ci des modifications assez profondes pour le 

 cas de n pair, puisque alors le principe d'Huygens peut être vrai. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une généralisation de la théorie des frac- 

 tions continues algébriques. Note de M. E. Goursat, présentée par 

 M. Emile Picard. 



« On sait que M. Hermite, généralisant la théorie des fonctions algé- 

 briques, a posé le problème suivant : 



» Etant données n séries S,, So, . .., S„ procédant suivant les puissances 

 croissantes de x, déterminer les polynômes i:.^, Xo, . ., X„ de degré ^^.,, [j... 



