SÉANCE DU l^j DÉCEMBRE TQoS. Io3l 



[x„, de façon que la somme S, X, H- . .-h S„X„ commence par un terme de 

 degré a, 4- w-o ■+- . . . H- ^y.„ -h n — i . 



)) Il en a donné une solution très simple dans le cas où les S; sont des 

 exponentielles e"'\ mais il ne semble pas que l'on ait résolu depuis le pro- 

 blème pour d'autres catégories de fonctions. 



» Je me propose d'indiquer une solution très simple du même problème, 

 lorsque toutes les fonctions S, sont de la forme (i — a?)"; poiu' fixer les 

 idées, je supposerai le nombre des S^ égal à trois, et je prendrai 



S, = I , S, = (i - x)"\ S3 = (i - xf. 



n Rappelons d'abord quelques résultats (') empruntés à la théorie des 

 fonctions hvpergéométriques du troisième ordre. On appelle série hyper- 

 géométrique du troisième ordre la série 



+ 00 



bi. b,, X J ^ {i .7n){bi.m){b.2.m) 



où (l.m) représente le produit X(>.-f- i) . . . (1 + m — i). Cette série se 

 réduit à un polynôme si l'un des nombres a,, «3, a^ est un entier négatif, 

 sans qu'aucun des nombres ^,, b^ soit un entier négatif. Nous désignerons 

 ce polynôme par 



gC;- "r "' 



» La fonction F satisfait à une équation différentielle linéaire du troi- 

 sième ordre de la forme 



(V) .•H.r-.)g + (Aa,-+R)^g+((;x + D);| + Er = o, 



A, B, C, D, E étant des constantes dont il serait facile d'avoir l'expression. 

 Si aucun des nombres b,, b.„ b, - b., n'est entier, l'intégrale générale de 

 l'équation (2) est représentée, dans le domaine de l'origine, par la formule 



C, Cl, Co étant des constantes arbitraires. 



(1) Anna/es de f École Normale supérieure, t. XII, 2« série, p. 278. 



