Io3i ACADÉMIE DES SCIENCES. 



)> Supposons maintenanrque l'on prenne 



a^ = ~ 1, <2o = — m — u., «3.= — n — V, 

 hf = I — m, b.y = i — /), 



1, {X, V, étant trois entiers positifs et aucun des nombres m, n, m — n, 

 n'étant un nombre entier. 

 » La formule (3) devient 



nr-' [ — ^'' — ''' — V-^ — /' — 



y = CGx 



(4) +(:,^-G^( 



(m — À, — ;j., m — ii 



«i H- t , m — /« -H f , jc 



\ ' \n -h i, /i — m -\- 1, a 



G), G^, Gv étant trois polynômes d'un degré marqué par leur indice. 

 La nouvelle formule (4) représente l'intégrale générale de l'équation 

 linéaire (2) correspondante dans tout le plan de la variable complexe a;. 

 On voit que cette intégrale n'admet qu'un seul point singulier véritable, le 

 point X =^ o. iMais le point œ = 1 est pour cette équation un point à appa- 

 rence singulière, et les racines de l'équation déterminante fondamentale 

 relative à ce point sont 0,1 et b^ -h b^ ~ (a^-h a.-,-i- a^) ou ). -h [x 4- v 4- 2. 

 On peut donc choisir les constantes G, C,, Co, de telle façon que le déve- 

 loppement de l'intégrale j suivant les puissances de i — ^~i?ommence par 

 un terme de degré ). -h ;jl + v -+- 2 . En changeant x en i — x dans cette 

 intégrale, on voit que le développement de 



'^ "^ \'n -^ i, m — n ^ i, i — xj 



suivant les puissances de x commencera par un terme en x'-^^^^''^-. Les po- 

 lynômes Gx, G^, G^ donnent donc une solution du problème d'Hermite. 



» H est clair que la méthode peut être étendue à un nombre quelconque 

 d'expressions (i —x)""^, (i — x)'"'-, . . ., (1 — .r)"V, pourvu qu'aucun des 

 nombres m^, mi— m^ ne soit entier. Dans le cas où p = i, la solution que 

 l'on obtient paraît, au premier abord, différente de la solution que l'on 

 doit à M. Padé pour ce cas particulier {Comptes rendus, t. CXXXII, p. 754), 

 mais il est facile de vérifier l'identité des deux formules. 



