SÉANCE DU l4 DÉCEMBRE I9o3. Io33 



» La solution du problème pour la fonction exponentielle peut se dé- 

 duire de la précédente, en la considérant comme un cas limite. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur F équation différentielle de Riccati du 

 second ordre. Note de M. George Wallexberg, présentée par 

 M. E. Picard. 



« Par l'équation de Riccati du second ordre je comprends l'équation 

 différentielle, déjà traitée par M. Vessiot (Ann. Fac. de Toulouse, t. IX) et 

 par moi (^Journ. de Crelle, t. 121, p. 210-217), tî<^nt l'intégrale générale est 

 de la forme 



Cl Çi -+- C2 >52 + >î3 



OÙ c^ et Co sont les constantes arbitraires. Cette équation s'écrit 



( B) («0 + y) y" — 2 y'- + ( 60 + b^y)Y' -\- d,, + d^ y -+- d.,y'- -+- d^y'^ = o, 



où <7o et df s'expriment, d'une certaine manière rationnelle, par les autres 

 coefficients (fonctions de la variable indépendante z) et par les déri- 

 vées «' , ci', //„, b\. Par la substitution u — > elle peut être trans- 



0001 <-'o~^f 



formée dans une équation différentielle du second ordre en u, dont l'inté- 

 grale générale, à un facteur près en z, est la dérivée logarithmique de 

 l'intégrale générale d'une équation différentielle homogène du troisième 

 ordre (loc. cit., p. 21 5). 



» 1. a. Si Ton en connaît trois intégrales particulières y,, y.^, y^, l'in- 

 tégration de l'équation (B) n'exige que deux quadratures. En effel, l'inté- 

 grale générale peut s'écrire 



y — -> ' 



C'i -I- Co A -+- ;jL 



où 



«0 + y-i ' 



i /' t^'..-'^i"o+^"'o)(.ri— .Va) j. 

 ,j ^^ '''" "*"•/' ffJ («o+.riM«u-l-Jal 



«0 + 73 



» b. Si l'on en connaît quatre intégrales y,, y.,, y.,, y^, l'intégration 

 de l'équation ( B) peut être effectuée sans aucune quadrature; car, ilans 



