1228 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



E. CiiAMBOx, G. Chavanne, J. Collet, L. Daxsel, h. Domixici, Glover, 



E. GoLDSTKiiv, A. GuNTZ, VicTOîî Mexri, Hospipauer, Lucien Lagriffe, 

 la comtesse M. vox Lindex, E. Loxcq, R. Maire, Marchis, Moxprofit, 



F. DE MoxTEssus DE Iîallore, M"'^ veiive rVEPVEU, p. PïCAiîD, Behxard 

 Rexault, Eue. Simon, Svex Hedix, Léon Teisseîiexc de Bort, II. -G. 

 Zeuthen adressent des remercîmeiits à l'Académie pour les distinclions 

 dont leurs travaux ont été l'objet dans la dernière séance publique. 



M. le Ministre de l'Instruction publique transmet à l'Académie une 

 Lettre du Vice-Consul de France à Roustchouk, relative à un tremblement 

 de terre qui s'est fiiit sentir, en Bulgarie, le 27 novembre dernier. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — 5"//^ une propriété des fonctions. Note de 

 M, H. Lebesgue, présentée par M. E. Picard. 



« Dans une Note des Comptes rendus (7 décembre igoS), M. Borel a 

 signalé une propriété appartenant à toutes les fonctions qui ont été définies 

 jusqu'à présent. Comme l'a dit M. Borel, j'avais rencontré cette propriété 

 sous une forme un peu différente. 



» Je dis qu'une fonction /(ic) est mesurable si, quels que soient a et b, 

 l'ensemble des valeurs de x, pour lesquelles on a « <if{^)<i b, est mesu- 

 rable. Les fonctions continues sont mesurables. La limite (Fune suite con- 

 vergente de fonctions mesurables est mesurable. Je ne sais pas s'il existe 

 des fonctions non mesurables; les fonctions actuellement connues sont 

 toutes mesurables. 



» J'ai démontré, dans mon cours du Collège de France, que toute fonc- 

 tion mesurable bornée est la dérivée de son intégrale indéfinie, sauf pour 

 des valeurs de x formant au plus un ensemble de mesure nulle. Cela résulte 

 d'une propriété que j'ai démontrée incidemment sans l'énoncer : Si / (^) 

 est mesurable, il est possible, sauf si x appartient à un certain ensemble de 

 mesure nulle, de trouver un intervalle (a, ^^ comprenant x et dans lequel on a : 



!/(«.') -/(x)|<^, 



sauf pour des valeurs de x' appartenant à un ensemble de mesure £o([3 — a); 

 et cela quels que soient ^^ et So. Si l'on adopte les idées de M. Baire ( ') rela- 



( ' ) Sur les fonctions de variables réelles ( An/iali di Mateniatica, j 900 ). 



