SÉANCE DU 28 DÉCEMBRE igoS. I23t 



» La limite du champ d'intégration relatif à l'intégrale double peut 

 comprendre une partie fixe arbitrairement choisie, et une partie variable 

 (dépendant de x,y,z). Cette dernière partie doit être définie par une 

 érpiahon de la forme 



(1) |3 = o(.r, y, s, 7.\ 



la fonction 9 étant telle que l'équation (i), quand on y regarde a, ,8 comme 

 des constantes, définit une intégrale complète de l'équation aux dérivées 

 partielles des caractéristiques. Quant à Télément d'intégrale, il comprend 

 une fonction arbitraire /(y., 8) et une intégrale primitive u(x, y, z, a, p) de 

 l'équation considérée, qu'on peut toujours supposer régulière dans un 

 domaine restreint des variables x, y, z. 



)) Il saute alors aux yeux que, pour obtenir des intégrales à singularités 

 accidentelles, nous disposons : 1° de la partie fixe arbitraire de la limite 

 du champ d'intégration; 2** de la fonction arbitraire /(x, ^) à laquelle nous 

 pouvons attribuer telles singularités qu'il nous plaira. 



» Un exemple simple fera nettement comprendre le sens et la portée 

 de la méthode. Soit 



)> Intégrons d'abord, par rapport à [3, entre les limites p^ = const, et 

 p, = o(ir, y, z, aV Si Ton suppose u{x, y, z, a, 8) développé en série 

 suivant les puissances de p — o„, 



11 = Uo(x,y, z, a.) 4- ^—^n, + ' j^^'" n.-h.... 



on aura 



^'■? 



la fonction U étant, en général, régulière pour <p = cp^. 

 » Considérons maintenant les racines a de l'équation 



(2) ?(^'5^..n z, y.) — o(x^, y^, z,, a) = o. 



Soit 7-, l'une d'entre elles. Intégrons par rapport à a suivant un lacet 

 partant d'un point quelconque a,, et entourant le point a,. On obtient pour 



