SÉANCE DU 28 DÉCEMBRI' IOo3. 1233 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Convergence des radicaux superposés périodiques . 

 Note (le iM. Paul Wiernsberger, présentée par M. Appell. 



« Considérons l'expression y 2 ± y 2 ±. . .± y'2 formée de radicaux 

 superposés portant sur le nombre 2 et séparés par les signes -f- ou — ; 

 supposons ces signes au nombre de pq et se reproduisant périodiquement 

 dans le même ordre, de q en q. On voit facilement que cette expression 

 est égale au côté d'un polygone régulier ('), de rayon i, d'ordre 2.'"^-^- et 

 dont l'indice y.j, satisfait à la relation 





(c.^-- - -^ V-' 



en désignant jjar î^. le nombre -I- i ou — i, suivant que le [7-'^'"^ signe de la 

 période est + ou — . 



» Il suit de là que, pour/> = 00, a^, tend vers une limite qu'il atteint par 

 valeurs croissantes ou décroissantes, si le nombre des signes négatifs de la 

 période est pair, ou par valeurs oscillantes si le nombre en est impair. 



Cette limite, dont a^, est d'ailleurs une valeur approchée à .,^,,^+i près, est 

 une fraction <^ - ésale à 



La fraction irréductible /, qui lui est égale, a pour dénominateur un 

 nombre simplement pair et le côté a; du polygone régulier, de rayon i et 

 d'indice i, satisfait à la relation 



.T == ^/ 2 + 3, \/2 + s, V 2 + . . . +c,^. , \/ 2 -h l,,X . 



Tl en résulte que tonte expression de la forme proposée, indéfiniment pro- 



(') I^a somme des angles d'un polygone l'égnlier de n côtés étant ( // — '^^)~, J^'P" 



pelle n son ordre, e son espèce et - -c^ - son indice. 

 ' Il :i 



