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B. Igel, 



1) 



§. 1. 



Um nuu den allgemeiuen Satz zu beweisen, welchen Clebsch folgendermassen formulirt: 



,,Es seien f^, f^,...f„+i w + 1 homogene ganze Functionen rter Ordnung von n Variabein x^, 

 a-jj,....c„; ferner f^, f^,...f„+t die aus ihnen gebildeten Functionnldeterminanten und ■■p^, -i/.^,...^,,^, 

 wieder die aus den f gebildeten Fuuctionaldeterminanten. Dann unterscheiden sich die ^ von den /' 

 nur um einen gemeinschaftlichen Factor M, so dass man die Gleichungen liat: 



um ferner den Factor M zu ermitteln, gehe ich nach dem Vorgange des Herrn Gordan von der Voraus- 

 setzung aus, dass es, da in den ^ keine höheren Differentialquotienten der /' als die zweiten vorkommen, 

 genügt, wenn man die Bildung von M unter der Annahme vornimmt, dass alle f von der zweiten Ordnung 

 seien, und man erhält aus diesem Resultate sofort das allgemeine, wenn man darin statt der Coefficienten der 

 Functionen zweiter Ordnung die zweiten Differentialquotienten der /' setzt. Ferner mache ich, gleichfalls nach 

 dem Vorgange von Gordan, folgenden Ansatz. Die Functionaldeterminauten f (dividirt durch passende 

 Zahlen) erscheinen als die Coefficienten der « in der Determinante 



2) 



D = «,y, +«.,fi 



a, «2 . . . «„-(-1 



Ebenso erhalten wir die Functionaldeterminanten ^ als Coefficienten der ß in der Determinante 



1 3j<, 1 3^j _ l^ 3y«+i 

 n 3a:, n dx^ n 3a;, 



3) 



A - ?:^x+ß-iW+- ■ ■ +i5"+' '^"+< = 



1 ^II 1 ^2 



n 3a;j n Sa;^ 



1 3 



'fn+\ 



1 8f 1 1 "^ft 

 n 3x„ n 3a;„ 



2 ^fn+l 



n 



dx„ 

 ßi ß^ ■ ■ ß"+. 



Multiplicirt man nun die Determinanten D und A, so bekommt man folgende Determinante: 



2n " 8a:, 3a;„ n " 3a;, 

 2w " 3a;j 3a;„ w "^ * Bx^ 



4) 



7)A 



Jl y ^ 8y* J_ ,;, Öfi. Ö^. 



2w 3x, 3a;, 2« 8x, Sa;^ 

 1 V 3A 8yt 1 ^ 3/1. 3(p,t 



2w 



Bxj 8a;, 2w 



3a;j Bxj 



1 V "^fk 8yx: 1 y 8/; 3yt 

 2w 3x„ 8a;, 2« 3a;„ 3a;j 



w oa;, w ex. 



1 



2« 3a;„ ^^" ^' 



^ 8x„ 



1 „ 8«Pi 

 — 2 «i^ 

 n ox„ 



2«* P;. 



