Algebraische Reciprocitäts- Sätze. 



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Die Determinante D verschwindet, wenn wir in ihr die a durch die f oder durcli ihre nach einem x 

 genommenen Düferentialquotienten ersetzen; ebenso verschwindet die Determinante A, wenn man in ihr die ß 

 durch die ^ oder durch ihre Diiferentialquotienten ersetzt, d. h. es bestehen folgende Gleichungen: 



5) fifi + f2ft+ ■ . +/;,+i ^„+1 =Ü 



aus welchen sofort folgt, dass die ^ den /' pioportional sind. 



Was nun den gemeinschaftlichen Factor betrifft, so kommt es nach Gordan darauf an, zu beweisen, 

 dass einerseits die Determinante 



6) 



1^ 



symmetrisch sei, was so viel sagen will, dass die Gleichungen bestehen: 



8a:,- 8a;,, Sx/, 8.t,v ' 



und dass sie identisch verschwindet. Das erstere folgt leicht aus den Gleichungen 









7) 



^Xi 



3A_, 

 2x/, 



2y,;^=o, 



denn differenzirt man die erste dieser Gleichungen nach .<,, und die zweite nach .r, und subtrahirt sie dann 

 von einander, so erhält man 



V3A!^_ yHk^±k_ 



L^ 8 Xi "hxh — J 8.C/, 8x,- 



8) 



0. 



Was die zweite Beliauptuug betrifft, so sieht man dieselbe auf folgende Weise leicht ein. Multiplicirt man 

 nämlich in !5) die zweite Verticalreibe mit x^, die dritte mit x.^ u. s. w. bis die letzte mit .c„ und addirt die- 

 selben zu der mit x, multiplicirten ersten, so kommen in derselben lauter Elemente vor, welche in Folge der 

 Identitäten 



V V :., !^ ^ = V c,. ?A = () 





'hx^, 8.f.\ 



fk 



8a;, 



identisch verschwinden. Das Product i).A lässt sich demgemäss nach bekannten Sätzen in der Determi- 

 nanten-Theorie in folgender Weise schreiben : 



J^ 8/^ 8^4 1_ 8/^ 8yi. 

 2w 8a;, 8x, 2w 8a-, 8j;2 



1 8A SfA- 1 s/;, 8f4 



9) 



7).A 



1 ^4 ^- 1 vß, ^A 



2w 8x, 8x'„ H " 8a;j 



2w Bajj 8a;, 2w 8a;j Sa^^ 





2w 8a;„ 8x„ » 



8a;, 



_|_ 8A S^i J_ 8/1- 8yi. 

 2w 3a;„ 8a;, 2w 3x„ Bajj 



J_ 8A 8^. _1 ^. 8A 

 2w 8a;„ 8a;„ n 8a;„ 



ly ¥* ly 8? 



w üa;, w ox. 



w "^ 3a;„ 







