Algebraische Reciprocitäts-Sätze. 



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3Y, 



+ ^«^3 ('^23 "tS ''22 ''33) +-''l ■'^2 -"^S ('''23 ''l 1 ^^22 ''33)' 



Es wird wohl geniigen, anstatt die Unterdeterminante 



1 



8Y* V s'A 



fk 



'6x\ ' Z_j Sa;^ öajj 



V 3'/* 



Z_j 8x„ 9,r, 



■y* 



y 



8Y. 



fk 



fk 



zu untersuchen, den einfachen Ausdruck 



8x^ 



.i •'2 3 4 • a^a -^2 3 4 a ,. n^ •^2 3 4 j 



Sx? 



V 8x^9x3 "^^^) 



in Betracht zu ziehen. Die Entwickelung' dieses Ausdruckes zeigt zunächst, dass derselbe den Factor x] ent- 

 hält, d. h. , dass alle Glieder, in denen x\ nicht als Factor auftritt, verschwinden müssen. So ist z. B. der 



Coefficient von xlx\ 



2±«22 ^13 <^23 ^^33 • -±«33 ^lä ^22 <^23 +^±«22 ^1 2 ''23 '^33 " ^±«33 ''l3''22 "^ t^—'^^^'^ii ^12 ^22 ^^33 • ^±«23 ^13 ('22 ''33=0 , 



^±«33^2C22f^23--±''22''l2^23''33— l-±f'23^2'^22''33)' = *^N 



der Coefficient von x^x^ 



der Coefficient von x\x\ 



^=t^22^13''23'^'33--^±^'33''l3''22''23 l^±^'23 '^13 '^22 ''33) = ^ 

 U. S. W. 



Da in der Eutwickelung folgenden Ausdruckes 





öx« ^" Zxl ^ ' '. 8.r2 8X3/ \ 



aus demselben Grunde die Coefticienten verschwinden müssen, welche x\ nicht zum Factor haben, so folgt 

 offenbar, dass dies auch der Fall ist bei Ausdrücken von folgendem Typus: 



v^ ( 8Y/.- s'/;- 



8V^ 



8^; 



Zj \ 8x| ^* 8xj ^' 8x2 8x3 ^' 8xj 8x-3 '^ 



Um schliesslich die Identität 



13) 



'^V'i 3 4> "^3 14' 'A 2 4) — • 



— \ — — <p/. — \ — - — (04 



6 / , 8xg 6 ^ 8x2 8x3 ' 



1 



VJ!^..AV S 



6 ^ 8x2 8x3 



^^eZ 8^^ 



•A 



nachzuweisen, genügt es, nach den Grundsätzen der Invarianten-Theorie zn zeigen, dass ihre ersten Glieder 

 übereinstimmen. Das erste Glied der linken Seite ist 



14) 



-^1 ^'12^13 > -^1 C,2'^23+2''ll '^22'^3; ^^1 'u^t + ^^l '''23'A3 



Sc„a,2(/,3, Sc,, a,g ^23 4-2 c„ «22^/13 , 2 c,, 0,3 , 733-1-2 c„ «23(^,3 



- "1 1 ^1 2 f^ 3 ) 2«l I '^1 2 ''23 + -«11 ^ 2 ''13) - "1 1 ''\ i ''33 + - ^h I ''23 '^^1* 



