Algebraische Reciprocitäts- Sätze. 



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keit, dass der Ausdruck 19) in vier lineare Factoren zerfällt, nicht ersichtlich, und nur aus der Einsicht zu 

 erschliessen, dass der Ort der Punkte, deren zugeliörende Gerade zusammenfallen, die vier Doppelgeraden 

 der Gruppe (abcd) sein müssen. Es ist ferner selbst bei ternären Formen die Identität von 19) mit 1/ nur 

 unter Zugrundelegung von speciellen Formen auf diese Weise zu beweisen, und um so weniger ist daraus die 

 allgemeine fundamentale Eigenschaft von M, in Factoren zu zerfallen, zu ersehen. Mit Hilfe des in Rede 

 stehenden Satzes von Clebsch in Verbindung mit einigen Sätzen des Herrn Rosanes in seiner schon citir- 

 ten Arbeit' ,.Über Systeme von Kegelt<chnitten" gelingt es, in diese Fragen tiefer einzudringen. Da nämlich 

 die vier Jacobi'schen Curven durch dieselben sechs Punkte gehen, so müssen nach einem bekannten Satze 

 die Jacobi'schen Curven dieser Curven diese sechs Punkte zu Doppelpunkten haben; da ferner diese Curven 

 in die vier Kegelschnitte und eine Curve vierter Ordnung Jl/^0 zerfallen, so muss, da die Doppelpunkte 

 nicht die Durchschnittspunkte der Kegelschnitte mit der Curve Jlf sein können, weil sonst folgen würde, dass 

 die vier Kegelschnitte durch dieselben Punkte gehen, was bei der Allgeraeinheit, in der die Kegelschnitte 

 vorausgesetzt wurden, nicht der Fall ist, und da ferner 31 := als Curve vierter Ordnung nur drei Doppel- 

 punkte haben kann, M in vier Factoren zerfallen, und zwar stellen diese Factoren vier Geraden derart dar, 

 dass sie drei Punktpaare verbinden, d. h. die Seiten eines vollständigen Vierseits sind. Um nun das Agregat 

 dieser Geraden zu erhalten, verfährt man folgendermassen. Aus der Gleichung 17) folgt, dass die Discri- 

 minante 



21) 



identisch verschwindet. Für diejenigen Punkte x, deren entsprechende Geraden zusammenfallen, müssen 

 oifenbar auch die Subdeterminanten dieser Discriminante verschwinden, diese stellen also vier Doppellinien 

 dar. Und da in der Gruppe (abcd) nur vier solche vorhanden sind, nämlich die Verbindungslinien der drei 

 conjugirten Punktpaare, so folgt von Neuem unsere Behauptung im §. 1. 



§.4. 



Nach einem Satze von Rosanes * stellt auch 



«y M'i + bl Wji + Cy wf + d-l M A = , 



wo 



u^i ^ — (bcu)(bdt<) (cdu) , ul z= (acu) (adu) (cdu) 



ur ^ — (abu){adu)ibdu) , ii\:={abu)[a cu){bcu) 



die Hermite'schen Formen bedeuten, einen zerfallenden Kegelschnitt dar, folglich verschwindet auch die 

 Discriminante 



22 



a^^u•\-^-b^^w}|+c^^u)■-\-d^^lfi , a^^l(\-{-b^^^i'is +c^^v;''|■+ll ^^u^i , a^^u\+b^sU%+c^gUh + d^^u\ 

 a2lUA-i-b^^Uß-^-c^^li^ + d^^^ii , a^^UA + b^^ul+c^^tvh-hd^^til , a^^iiA+b^^UB-hc^s'^j'-hd^^ul 



flg, Ha -+- &3J U^n + fj, lif + r/3, M'l , «32 M^ + /^3j Uü + C35, «/■ + f/jj u\ , «33 U^ + ^'33 Uß + C33 Mr + ^^33 ^I 



die Bedingung, dass die zwei Geraden in eine zusammenfallen, d. h., dass der Kegelschnitt in eine Doppel- 

 linie ausartet, wird oifenbar durch das Verschwinden der Unterdeterminanten von 22) ausgedrückt. Eine 

 solche Unterdeterminante gleicii Null gesetzt, stellt augensclieiulich sechs Punkte dar; die eben erwähnte 

 Bedingung stellt daher das Verlangen, dass die vier Doppellinien durch diese seciis Punkte gehen sollen. 



1 Mathein. Annalen, Bd. 6, S. 265 flf. 



2 Mathem. Annalen, Bd. 6, S. 303 



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