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Algebraische B-eciprocifäts- Sätze. 

 Ftir M findet Rosanes den Ausdruck 



flu pn fiii fH2 



86 



M = 



fiii ^22 fiii pa 



r222 J^22^22^222 



Dieser Satz kann, wie schon Rosanes bemerkt, auf beliebig viele Formen ausgedehnt werden, und 

 dieser Verallgemeinerung bat Pasch folgende Fassung gegeben: 



„Sind f^, f^,. . .f,, \ binäre Formen und setzt man, wenn man sich der Bezeichnung bedient: 



®(/'./'e---A) = 



34-' 8 4-2 8a;, 



'bx\~^ ^x'^--'^x^ 



ix\"^ 



8ic^-' 



8^-Yx s'-'A 



8a!i-* 8a.'!,-2 8x. 



84-' 



so ist 



25) '^{<f^. . .fi^ifij^i 



Berücksichtigt man die Identität 





m(rn—\f{m — 2y. . . (m -l + 2y-' D(fJ.,...fi.) = x 



_ „FMX-f) 



'^(fvfz---fiy 



wo 



26) 



D{fJ,...f,)=:^±n 



8^8^ 8^-'A 



8a; 8a;^ 8 a;''-' 



und m den Grad der Functionen bedeutet, so stellt sich dieser Satz als einfache Erweiterung des folgenden 

 bekannten Determinanten-Satzes heraus: 



„Die partiale Determinante (X — l)ten Grades des adjungirtcn Systems von D(fy,f^. . -f,) ist das Pro- 

 duct von D^-^ mit dem Coefficienten, welchen die entsprechende partiale Determinante des ursprüng- 

 lichen Systems hat." 



Es ist nur zu zeigen, dass, wenngleich die Differentialquotienten der y keineswegs die Minoren von 

 ^(fiyfi- ■ -A) darstellen, die Determinante D{f^, yj...y,_i, y,+i ...yO dennoch nur der Minor der Reciproken 

 von D{fi,fi-- -f)) ist. Um nicht weitläufig zu sein, wird es genügen, wenn wir dies an einem einfachen Bei- 

 spiele zeigen. Bilden wir nämlich für vier Functionen die Deteiminante 



^(AAAA) = ^±AA./i;'/:" 



und von dieser die vier Unterdeterminanten ; 





> Grelle '9 Journal. Bd. 80, S. 177— 182. 



