und aus dieser die Minoren 



Algebraische Reciprocitäts-Bätze. 



Ö7 



so ist z. B. 



31) 



-ö(iP5n?'3) = -±y5?4?3 = 



+ 



^±Af,f^f:'^±Af,f:(n7^±f,f,f:fi' 

 ^±fArs'fi ^±Am'fi ^±nmn 



Der sehr umfassende Satz des Herrn Proben i us ', der folgendermassen ausgesprochen wird: 

 „Sind f^ . . -fi.+f, Functionen von x und setzt man 



so ist 



32) Dfio, ■^,...^,) = D(f,.f,...f,^,r.DifJ,...f,+,)," 



hat, so viel bekannt ist, kein Analogen in der Determinantentheorie. Man kann aber ein solches ableiten 

 durch folgende Überlegung. Nach dem oben Gesagten ist D{'pg, tp, . . .^^) nichts Anderes als ein Minor der 

 Reciprokeu von D{f^, f^. . ./l+p.), dessen Elemente auf folgende Weise gebildet sind. 



Aus dem Element ^q, welches eine Unterdeterminante Xten Grades von -D(/, , f^- ■ ■fi+^) ist, bildet man 

 alle Elemente der ersten Reihe, indem man die letzte Colonne successive durch fx+i und ihre Ableitungen f\^2 

 ersetzt; aus diesen Elementen bildet man wieder die Elemente der zweiten Reihe, indem man in ihnen die 

 respective letzten Reihen durch die entsprechenden in der (X + l)ten Reihe von D(f^, f^. . ■f^+v)'i ^"s diesen 

 Elementen bildet man abermals die Elemente der dritten Reihe, indem man in ihnen die respective vorletzten 

 Reihen durch die ihnen entsprechenden der (X+2)ten Reihe m D(f^,f^. . ■fi+^,) ersetzt, u. s. w. 



Wir können daher folgenden Satz aussprechen: 



„Ist ein System von Grössen 



*12 



'Zi 



.«IX 

 ■ «2 X 



«IX+l 

 «2X+1 



■«IX+ii 

 •«2X+IJL 



D 



1 «X, 1 



ax2 



■ «xx 



«X X+1 



. «XX + IJL 



«X+|i, i «X+H-, 2 



und bildet man folgende Determinante : 



D = 



• ax+|i,x «x+(ix+i 





•«X+|JLX + |i 



if^ifx»...-M'xx 



1 L. c. 



