Algebraische Beciprocitäfs-Sätze. 



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Der im vorigen Paragraph citirte Satz ist, wie schon Rosanes selbst bemerkt, sowohl in Bezug auf die 

 Anzahl der Yariabeln, als auch in Bezug auf den Grad der Ableitungen der Erweiterung fähig. In der That 

 hat Pasch in der schon citirten Arbeit diese Erweiterung gegeben. Setzt man nämlich 



2/- 8Y 



= df, d{df) = 5'f, 5(o^Y) = oY 



und 



wo //, , i/^. ■ ■ willkürliche Grössen bedeuten, so lautet der allgemeinere Satz nach Pasch 



Wenn Ä=:X — 1 ist, so geht diese Gleichung in 

 36) D(y,. . .?>,_,^,+, . . .yO = i-iy-' f,.D(f, . . .f,y-^- 



über, und diese Gleichung ist die Verallgemeinerung des Satzes von Rosanes. Setzt man 



n h ■■■ h 



37) 



D{t\--h) = 



8f, öf, ... oYx 



5V, ay, . . . d^fy. 



fi = 



und adjungirt die Gleichungen: 



38) F{x^ x^x^) = 0, 5F{x^ . . .) = . . . , 5'-'i^(x, . . .) = 0, 

 so stellt bekanntlich L := die Coincidenzcurve des Büschels 



39) /;+aj^+ . . . +«,/'. = 



dar, d. h., die Curve, welche durch die (X—1) fachen Berührungspunkte der Curven dieser Schaar mit der 

 Curve F(Xi. . .) =: geht. Bildet man die Ä Unterdeterminanten von L, genommen nach den Elementen der 

 letzten Reihe und bezeichnet allgemein 



A ••• /■<■-. /;+. ••• fi. I 



o^>- Y, . . . d'-ä /:_, o^^-Y,^, . . . rj'-Yx 



so stellen diese f gleich Null gesetzt, nach Adjungirung der Gleichungen 38) die Coincidenzcurven der respec- 

 tiven Büschel 



40) /i + «z/i + • • • + «-i/".-! + «.+i/)-f( + • • ■ +«/ A = 0- 

 Die CoTncidenzcurven der / Büschel 



41) fi+='2?«+ • • • +c(i-i<pi^i + cci^ifi+i+ . . ■ +axyx = 

 sind respective 



42) <S>; = D{f^ . . y,_i f ,+f . . . yO = 0. 



Adjungirt man in 3<!) die Gleichungen 38), so erhält man 



ci,, = (-i)-'/;l>-% 



Denkschriften der malhem.-naturw. Cl. LIV. Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern. jY, 



