Algebraische Beciprocitäfs- Sätze. 91 



folgen die Identitäten 



' {n,h)h+i.FUQfMFhn)ü = inUQ-F- 



Diese würden unter Benützung von 46) und 47) die Identität liefern 



was nicht möglicli ist, da, wenn man annimmt, dass F mit den /', von derselben Ordnung ist, nach dem Satze 

 von Clebsch 



ist und M seiner Natur nach unmöglich durch {fi,fi,fs) theilbar sein kann. 



§• '^^ 



Zum Schlüsse will ich noch einen Satz beweisen, der vielleicht nicht ohne Interesse sein dürfte. Es seien 

 wieder vier quadratische Formen /', , fltf^, f^ gegeben und, sowie früher ihre Functionaldeterminanten f^, f^, 

 ^3, f^ und die aus diesen gebildeten Functionaldeterminanten durch <I>, , <i>^, O3, «fc^ bezeichnet. Es sind 

 bekanntlich 



CD, = , <!>, = , a»3 = , *, = 0, 



beziehungsweise die Örter der Pole, deren gerade Polaren in Bezug auf die respectiven Curven 



?l = ^2 = ^3 = 



?i = ^-2 = f^ = 

 fi = ^3 = f^ = 

 y^ = <P3 = y^ = 



sich in einem Punkte schneiden. Den «t entsprechen eindeutig die Steiner'schen Curven als Orter diese 

 Schnittpunkte. Da wir nun wissen, dass die 4) ganz specielle Eigenschaften haben, so liegt es nahe, auch 

 die ihnen eindeutig entsprechenden Curven zu untersuchen. Der Kürze halber bezeichnen wir die Steiner'- 

 schen Curven durch S und unterscheiden dieselben durch Indices. Zunächst ist klar, dass auch die S eine der 

 Curve i¥=0 entsprechende allen gemeinschaftliche Curve, die wir mit M bezeichnen wollen, enthalten. Die 

 Ordnung dieser Curve ist offenbar, wenn man die Ordnungszahlen von <I> und S berücksichtigt, gleich acht. 

 Die anderen Curven, welche respective den Curven 



entsprechen, sind demnach von der vierten Ordnung. Diese zwei Systeme von Curven können nicht verschie- 

 den sein und einander eindeutig entsprechen, denn es müsste sonst der Schnittpunkt /■, = 0, /"g = z. B. da 

 er der Pol ist, dessen geraden Polaren in Bezug aller Curven ^ = sich in einem Punkte schneiden, der 

 Sclinittpunkt aller vier Curven f=0 sein. Würde man, um diesen Widerspruch zu heben, annehmen, dass 

 die Schnittpunkte der /"= auf der Curve M= liegen, so würde man auf den Widerspruch stossen, dass 

 die Curven / = mit iW = in mehr als in acht Punkten sich schneiden. Es folgt daher, dass die Curven 

 vierter Ordnung nichts Anderes als die Quadrate der f sind. Wir wollen aber beweisen, dass auch die Form 

 M das Quadrat M ist. Zu diesem Behufe recurriren wir auf die charakteristische Eigenschaft von M, in 

 vier Gerade zu zerfallen, welche Doppelgeraden in der viergliedrigen Gruppe sind. Die Natur dieser Geraden 

 bringt es mit sich, dass die ihnen entsprechende Curve Jf = das Quadrat einer Curve vierter Ordnung sein 

 muss. Da zwei Curven, welche sich gegenseitig eindeutig entsprechen, bekanntlich dasselbe Geschlecht 

 haben, so folgt daraus, dass auch diese Curve vierter Ordnung in vier Geraden zerfallen n.uss. Wären aber 



m * 



