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dem Gleichungssystem 1) identisch genügen, wobei r, von den Wurzeln r^, r^. . ., r„ einer gewissen alge- 

 braischen Gleichung wten Grades — der auf den Punkt x =^ bezüglichen determiuirenden Fun- 

 damentalgleichung — diejenige ist, für welche keine der Differenzen: 



r^ — r^ — l, r^—r^ — l, .... r„ — r, — 1 



Null oder einer ganzen positiven Zahl gleich wird. 



Macht man alsdann in dem Gleichungssysteme (1) die Substitution: 



so ergibt sich das Gleichungssystem: 



1') X j^ z= bi2{x)z^ + bii(x)z3+ ■ ■ ■ +h,„{x)Zn / = 2, 3,. . .n 



dessen Coefficienten von derselben Beschaffenheit wie die des Systems 1) sind, das aber eine Unbekannte 

 weniger hat; dabei ist: 



/ z, =z q,- — q^ i^z2,...n 



^^ L^-« (x)'f-^z^ +a (x)'^z 



r dx -""'W^^(^)^E+---+"i.W^^(^^^„ 



Wie früher für 1), lässt sicli daher jetzt auch für das Gleicliungssystem 1') eine reguläre Lösung: 

 ^21? ^3i'-*-' ^«1 bestimmen, mittelst welcher aus den Gleichungen 4) und 5) eine zweite reguläre Lösung: 

 Vn' Vti^-'-y Vm des Gleichungssystems 1) gewonnen wird. Verfährt man nunmehr mit dem Gleichungs- 

 systeme 1') in derselben Weise, wie zuerst mit 1), so gelangt man zu einem Gleichungssysteme 1") mit nur 

 n — 2 Unbekannten, damit zu einer zweiten regulären Lösung von 1') und zu einer dritten regulären Lösung 

 von 1) selbst, u. s. w. 



Die Frage, wann in den so erhaltenen Lösungen Logarithmen auftreten, wurde von Herrn Sauvage 

 nicht in Erwägung gezogen. Indem icli selbst an die diesbezügliche Untersuchung heranschritt, fand ich, dass 

 sich die Existenz eines Fundamentalsystems von regulären Lösungen des Gleichungssystems 1) auch ohne 

 Zuhilfenahme der Gleichungssysteme 1'), 1") u. s. w. in sehr einfacher Weise darthun lässt, wenn man , wie 

 dies Herr Frobenius ' bei der Integration der Fuchs 'sehen Differentialgleichung gethan hat, die Coefficienten 

 der Reihen 2) und damit auch die ersteu Theile der auf Null reducirten Gleichungen 1) als von den Wurzeln 

 der determinirenden Fundamentalgleichung abhängig darstellt. 



Die letzteren theile ich in Gruppen von der Art ein, dass jede nur solche Wurzeln enthält, die sich um 

 Null oder ganze Zahlen von einander unterscheiden; die Wurzeln einer Gruppe werden dabei in eine solche 

 Keihenfolge gebracht, dass von zwei derselben die voranstehende nicht kleiner als die nachfolgende ist. Einer 

 solchen Gruppe von Wurzeln entspricht eine Gruppe von untereinander linear unabhängigen Lösungen des 

 Gleichungssystems 1), die so beschaffen sind, dass sich die Bedingungen für das Nichtvorhandensein von 

 Logarithmen in denselben ohne Schwierigkeit ermitteln lassen. 



2. 



Es sei 



1) 



> Siehe Crelle's Journal, Bd. 76, S. 214—235. 



