Integration linearer Differentialgleichungen. 

 das Gleichungssystem 1) der vorigen Nummer, wo a,t.= aa{x) und werde zur Abkürzung 



95 



2) 



dx 



^i (i/) =—^:E +«vi //, +", 2^2 + . . . +a,„!/„ 



i = 1, 2,. ..n 



gesetzt. 



Gemäss der liber die Coefficienten a^- gemachten Voraussetzung lassen sich dieselben durch convergente, 

 nach ganzen positiven Potenzen von x fortschreitende Reihen darstellen: Es sei: 



3) 



(tiic (x) = a'lk + ah-c+ah-e^ + a^Itx 



Es seien ferner: 



4) «,: = Cio + CiiX-hCaX^ + C,3x'^- 



;=1, 2,. . .//; k= 1, 2,...n 



i=l, 2,...n 



n unendliche, nur ganz positive Potenzen von x enthaltende Reihen mit den vorderhand noch unbestimmten 

 Coefficienten c,k. 



Substituirt man in den Ausdrücken 2) für y,, ij^,-.-y„ die Producte: 



5) y^=x'■|(^, ij^—x'-u^, ... y„ = a;"-«,, 

 wo r eine von x unabhängige Grösse ist, so nehmen dieselben die Gestalt an: 



6) Äi (x''u) = x' (biti + bnx+b,2 x^+ ... ) t = 1,. . .n. 

 woselbst für jedes positive ganzzahlige k und / = 1, 2,...« 



,6,4= rt?,cu- -I-. ..+«!■, -ic,_i,i +(«",— /•—A-)c,i +a"i+ic,+i,i. +...+a?iC„i 



-a.JiCi,i._i+ . . . +rt,^i_iC,_i,i_i+ aji tv,4— i + ff,' ,-)-ic,+ i,i_i+ . . . 4-rt,'4C„,t_, 



7) 



+aiiCio 



-«.,■,, ;-lCi_in 





i 



ist. 



Wird verlangt, dass die Functionen 5) dem Gleichungssysteme 1) identisch genügen sollen, so muss für 

 A=0,l,2,... 



8) 

 sein. 



^»^■ = 



i zu Ij. . .11 



Für k -=0 finden demnach die folgenden n Gleichungen statt: 



Ki-'O Cio+ <2 c^o+---+ «1. '■-,0 = 



9) 



^10 + «— 'O^io- 



ff" c — 



<:,o+ ■■■+(.< — >-)c„„ = 



aus welchen hervorgeht, dass wofern die Coefficienten 6',„,...t'„„ nicht sämmtlich gleich Null sein sollen, die 

 Determinante 



10) 



= X(r) 



identisch verschwinden muss. 



