Integration linearer DiferenUalgleichungen. Ö7 



i= 1, 2,...n; k = l, 2, 3,.. . 

 woraus mit Rücksicht auf die Formeln 12) folgt: 



14) Ca. = 



K{r+l)K{r+2).. .K{r + l^.Kf^ 



■'ho- 



Durch die Gleichung 14) erscheinen die Grössen c,4 als lineare Functionen von c,^ mit Coefficienten, die 

 von r abhängen, ausgedrückt. Um zu verhindern, dass dieselben für eine Wurzel der Gleichung 11) unend- 

 lich gross werden, theile man die Wurzeln der letzteren in Gruppen von der früher angegebeneu Art ein. Für 

 jede solche Gruppe gibt es eine Zahl <5, welche das Maximum der Differenz zwisclien zwei Wurzeln derselben 

 angibt. Ist A die grösste dieser Zahlen S, so bestimme man die bisher willkürlich gebliebene Grösse c^^ 

 durch die Annahme 



15) .,„ = K{r+1) Kir + 2).. .K(r+ff)Fir), 



wo die ganze Zahl (j>A ist und F()-) eine willkürliche Function von r bedeutet. Es erlangen alsdann die ca 

 für alle Wurzeln der Gleichung 11) endliche Werthe. ' 



Nachdem so durch die Formeln 14) und 15) die Coefficienten der Reihen 4) gegeben sind, erübrigt noch, 

 die Convergenz der letzteren zu erweisen, damit die Functionen 5) als eine Lösung des Gleichungssystems 1) 

 betrachtet werden dürfen. 



Was diese Convergenz betrifft, so ist dieselbe von Herrn Sauvage '^ unter der Voraussetzimg bewiesen 

 worden, dass das in den Ausdrücken 5) vorkommende r die grösste von den Wurzeln der determinirenden 

 Fundamentalgleichung sei, somit K{r+lc) für keinen Werth des positiven ganzzahligen k verschwindet. Der- 

 selbe Beweis ist jedoch auch hier zulässig, wo eine solche Annahme über r nicht gemacht wird, wofern nur k 

 nicht kleiner als A genommen wird, was offenbar keine Beschränkung des Convergenzbeweises ist, indem A 

 eine endliche angebbare Zahl nicht überschreitet. 



3. 



Aus den Entwickelungen der vorigen Nummer geht hervor, dass, welches auch die Werthe von Cj„, ^20, ••• 

 c„„ sein mögen, wofern nur die Coefficienten c,/, (^=:1, 2,...) durch die Gleichungen 13) daselbst bestimmt 

 werden, die folgenden identischen Gleichungen stattfinden : 



1) 



. A„ ix' u) = { if ^e^, + a",^ r,„ + . . . + («°, — /•) cj x^ 



Werden die Grössen c,^, c^^,...c^^^^ durch die Gleichungen 12) der Nummer 2 berechnet, und substituirt 

 mau diesen gemäss in die Ite, 2te,...?jte der vorstehenden Gleichungen 1) für c,o («=:2, 3, ...«), beziehungs- 

 weise die einerlei Werth besitzenden Quotienten: 



jg;(f) ' £12) ' ■ ■ • £1«) 



i = 2, 3,.... 



so ergeben sich die Gleichungen : 



' Vergleiche: Frobenius, Grell e's Jouraiil, Bd. 7G, S. 2 17. 



2 Siehe die Annalea de l'Ecole normale, annöe 1886, p. 39 I — 397. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Ol. UV. Bd. AbU;iBJlUQgen von Nichlmitgliedern. 



