98 E. Grünfeld, 



welche, weil 



aXii^)+ . . . +al^-iiqi, +(«^.-r)XW + «i:x+,Z;^, + . . . +al„K^P = {-iy-'K{r) X = 1, 2,. 



ist, mit Berücksichtigung der Gleichung 15) in Nummer 2 sich in die folgenden verwandeln: 



'^, (x'-u) = x'-K(r)K{r+l)K{r+2) . . .K{r+g) ^ 

 2) / A^ {x^ i,) = x'K{r) K{r+ 1) K{r+ 2) . . . K{r+g) ^ 



,A (x'-ic) = x^K{r)K{r+l)K{r + 2).. .7v> + r/)^ 



Es werde nunmehr eine nach Angabe der Nummer 1 gebildete Gruppe ' von Wurzeln : 



3) »•, , '2 , • • • , '•» 



der Gleichung K{r) =0 betrachtet, wo demnach, wenn « und ß irgendwelche zwei von den Zahlen 1, 2,...s 

 bezeichnen und |3>«, r^—r^ eine ganze positive Zahl oder Null ist. Sind diese Wurzeln sämmtlich von ein- 

 ander verschieden, so verschwindet, wie eine einfache Überlegung zeigt, für /• =7-^ (a =1, 2, ...s) der Aus- 

 druck 15) von Nummer 2: 



c,„ = K{r+l)K{r+2). . .K{r+cj)F(r) 



von der (a— l)ten und daher c,oii'(*) von der aten Ordnung. 



Sind hingegen die Wurzeln der Gruppe 3) nicht alle von einander versi'hieden und etwa ;-| , i-a+i, ri,+i, 

 r^+i,... die von einander verschiedenen, so verschwindet (-,„ fUr r— i\ = r^ = ... = >•„ von der Oten, für 

 r=r„^t = ra^3 = ... = >■/, von der aten, für r = r4+, = /-(,4_2=... = ^c von der lOten Ordnung u. s. w., daher 

 Cif^K{r) für /•=/•, = ... = /•„ von der «ten, für r-=ra+i= ...= rt von der 6ten, für r —ri,+i= ... = r^ von 

 der cten Ordnung u. s. w. 



Fasst man beide Falle zusammen, so folgt, dass für eine Wurzel i\ der obigen Gruppe die Grösse c^„ 

 höchstens von der (a— ])teu und c,oür(/-) wenigstens von der aten Ordnung Null wird. 



Den Gleichungen 2) zufolge müssen daher für r^i-t, die Ausilrücke .1, (x''«), ^^ (x'' m) , . . . ^„ (a;'' ?«) gleich- 

 zeitig mindestens von der aten Ordnung verschwinden; es müssen somit die (a— l)ten Ableitungen dieser 

 letzteren nach r genommen für r = rti Null werden, also die n simultanen Gleichungen stattfinden: 





:0 a= 1, 2,...s. 



Nun ist : 



d. h. es ist: 



dr"-' - ~ ^ rfS [d^^^) "*■"'■* 'd^^^ ■*"•■■ '^'''" </•;•"-' 

 d^-'A.jy) _ fd^-'ys 





i Vergl. Fuchs, Crelle's Jourual, Bd'. 63, S. 364 und Frobeaius, Bd. 76, S. 221. 



