Integration linearer BifferentiahjJeicJnmgen. 99 



wesshalb das Gleichungssysteni 4) in der Form geschrieben werden kann: 



welche erkennen lässt, dass die n Functionen: 



d<^-\x•u^) rf'»-*(a;'-«/j() (^'>-'(afM„) 



rfr"-' ' c?»-"-' ' ■■■' dr«-* 



für ;r= >•„ eine Lösung des Gleichiingssystcms 1) der Nummer 1 : 



5) A,{y)^Q, ^,(yl = 0, ...^„(y) = 



bilden. 



Wird daher in 



— ^.-^ = ^ I lz;:H=r +^«-l) rfT^- 1«S •'^+ 2 ^"-^) ^"-^^ rfT^' ^'^^ "-'^^ • • • +"'^^"^ "^^ ! 

 gemäss Gleichung 4) der Nummer 2 



oo 

 



substituirt, so ergibt sich, dass der Wurzel /„ der Gruppe 3) die folgende Lösung des Gleichungs- 

 systems 5) entspricht: 



Uu 



°° 1 



,,. = /«^ [-rr'^+(n - 1) ctr^' log x+ ^ (a-1) (a-2) cf-') (log a;)^-t- . . . +cu (log rc)"-« } 







°° 1 







°° 1 



i/«a = ^■'■''2 {".r'^ + C"-!) <V'' log J-+ 2(a-l)(a-2) c,-^' (log.<;)^+ . . . +.-„,(logx-)'>-' } 



wo zur Abkürzung 



ö 



ß(a-p) . 





gesetzt ist. 



Entliält die Gruppe 3) keine mehrfachen Wurzeln, so verschwindet f,„ für r = r„ von der (a— l)ten Ord- 

 nung, es ist daher in dem Elemente i/,^ der Lösung 6) der Coefficient von x"'" gleich c(^~'^ und von Null ver- 

 schieden. Kommen jedoch mehrfache Wurzeln in 3) vor, so verschwindet c^Q für die «fache Wurzel 

 ;•,=:...=:;•„ von der Oten Ordnung, desshalb ist der erwähnte Coefficient jetzt gleich dem von Null verschie- 

 denen Ausdrucke : 



c[%~*' + (a-l)c[1r'^ log .1- + l (n_l) (a— 2)c,"„-=" (log xf+ . . . -4-c,„ (log x^-' 



in welchem, da dieser Wurzel die a Lösungen y,,, y.a, •••«/-« {i =:!,... n) entsprechen, o::=l, 2,...« zu setzen 

 ist. Indem man so weiter schliesst, erkennt man, dass auch für jede andere mehrfaclie Wurzel r„ der 

 Gruppe 3) der Coefficient von x'" in i/ta vou Null verschieden ist, woraus folgt, dass i/ia in allen Fällen zum 



